설군의연구소

안녕하세요, 설군입니다. 간단한 평행판 축전기에 대해서 생각할 때에는, 축전기 사이에 아무것도 차 있지 않은, 그냥 공기인 상황을 생각했었습니다. 그런데 축전기의 전기 용량을 늘리기 위해서 축전기의 중앙에 절연체를 삽입하여 만들 수 있습니다. 절연체는 유전체라고도 말합니다. 그림과 같이 평행판 축전기 사이에 절연체를 삽입하면, 축전기의 전기 용량은 절연체의 종류에 따라 다른데 증가하게 됩니다. $$ \varepsilon_0 \frac{A}{d} \rightarrow \kappa \varepsilon_0 \frac{A}{d} $$ 이렇게, 축전기의 면적과 극판 사이 간격은 일정한데 유전체가 삽입된 것 만으로 $\kappa$배 증가하게 됩니다. 참고로 $\kappa$는 유전 상수라고 불리는데, 값은 항상 1..

안녕하세요, 설군입니다. 전하가 두 개 이상 놓여있는 계를 생각한다면, 그 계의 전기 퍼텐셜 에너지를 계산할 수 있습니다. $$ \text{(첫 번째 전하를 빈 공간에 가져오는 데 필요한 일)} + \text{(두 번째 전하를 가져오는 데 필요한 일)} + \cdots $$ 이렇게 계산하면 되는데요, 축전기도 역시 전하가 모여 있는 계이기 때문에 에너지를 생각해볼 수 있습니다. 이를 축전기에 저장된 에너지라고 하고, 어떻게 계산하는지 알아봅시다. 전하가 충전되지 않은 축전기와, 스위치, 전지를 회로로 연결한 상황을 생각해봅시다. 회로에 스위치가 열려있을 때에는 아무런 일도 일어나지 않지만, 스위치가 연결되고 나면, 전지의 전기 퍼텐셜 차이에 의해 전류가 흐르므로 전자가 움직입니다. 전지의 $(-)$극과 ..

안녕하세요, 설군입니다. 저항이라는 회로의 요소를 직렬 연결, 병렬 연결 하는 것처럼 축전기도 회로의 요소가 될 수 있으므로 직렬 연결, 병렬 연결을 생각해볼 수 있습니다. * 축전기의 직렬 연결 예를 들어 우리가 평행판 축전기가 두 개 있는데, 둘의 전기 용량이 각각 $C_1, C_2$라고 합시다. 위와 같이 연결된 상황이라면 이를 간단하게 회로 그림으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 막대기 두 개를 공간을 두고 그려놓은 게 축전기를 의미합니다. 꼭 평행판 축전기가 아니라도, 원통형 축전기나 여러 축전기들을 이런 표식으로 표현합니다. 위와같이 연결된 상황을 축전기의 직렬 연결이라고 합니다. 이런 경우에 두 축전기를, 전기 용량이 $C'$인 한 개의 축전기로 생각할 수 있는데, 이렇게 계산합니다. $..

안녕하세요, 설군입니다. 이전 글에서는 원통형 축전기의 전기 용량을 계산했었는데, 이번에는 구형 축전기의 전기 용량을 계산해봅시다. 반지름이 $a, b$인 도체 구 껍질이 각각 전하 $+Q, -Q$로 대전되어 있고 위의 그림과 같이, 한 점을 중심으로 겹쳐 있습니다. 그림은 간단하게 하기 위해 구 껍질을 잘라놓은 상황입니다. 전기 용량을 구하기 위해서 정의를 생각해보면, $$ C = \frac{Q}{\Delta V} $$ 가 됩니다. 따라서 $\Delta V$를 구해야 합니다. $$ V_{\rm{B}} - V_{\rm{A}} = - \int_a^b \vec{E} \cdot d\vec{s} $$ 입니다. 두 도체 구 껍질 사이의 임의의 거리 $r$에서의 전기장을 먼저 알아야 하는데, 이는 가우스 법칙으로 ..

안녕하세요, 설군입니다. 짧은 거리를 두고 떨어진 두 도체는, 회로에 연결하면 축전기(캐패시터, capacitor)로 작동할 수 있습니다. 아주 간단한 모형의 경우에는 도체 판이 짧은 거리를 두고서 떨어져 있는 경우인데, 회로에서 축전기를 표시할 때 사용하는 모양이 그 의미입니다. 전기 용량은 다음과 같이 정의됩니다. $$ C = \frac{Q}{\Delta V} $$ 두 도체 사이의 전기 퍼텐셜 차가 $\Delta V$, 한 극판에 몰리는 전하의 양 $Q$일 때 그 둘의 비율입니다. 적은 전기 퍼텐셜 차이 만으로도 많은 전하를 쌓을 수 있다면 전기 용량이 큰 것이예요. 그리고 전기 용량은 항상 양수의 값입니다. 단위는 마이클 패러데이 라는 과학자의 이름을 땃 '패럿' 입니다. 따라서 $$ 1\ \rm{..

안녕하세요, 설군입니다. 공동을 가지고 있는 도체의 경우에 대해서 알아봅시다. 공동이라는 건 어떤 구멍을 말합니다. 동공이라고 해도 되고 공동이라고 해도 돼요. 예를 들어 예쁜 공 모양의 도체 구가 있다고 합시다. 이 도체 구를 반으로 자른 단면이 오른쪽의 그림인데, 내부가 비어있는 것처럼 보입니다. 이런 경우를 공동이 있는 경우라고 합니다. 꼭 공 모양의 도체 구가 아니더라도, 임의의 모양의 도체여도 내부가 비어있는 곳이 존재할 수 있어요. 이런 상황에 대해서 생각해봅시다. 여기서 좀 구별해야할 게, 도체 내부라는 말과 공동 내부라는 말 인데, 도체 내부라는 말은 도체로 꽉 차있는 공간을 이야기해요. 그런데 공동 내부라는 말은 말 그대로 아무것도 물질이 없는 빈 구멍을 말하는 거예요. 도체 내부라고 해..

안녕하세요, 설군입니다. 문제에서 어떤 힘의 크기와 방향을 말하라, 변위의 크기와 방향을 말하라 이런 경우가 있습니다. 방향을 말하기 위해서 어떻게 해야 하는지 알아봅시다. 예를 들어 내가 문제에서 물어보는 정답을 찾았는데, 위와 같이 힘의 $x$성분, $y$성분을 찾았습니다. 이럴 경우 힘의 크기는 $|F|=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$으로 대답해주면 됩니다. 방향은 다음과 같이 $+x$축으로부터 반시계 방향으로 회전한 각도를 말해주면 됩니다. 이 각도를 구하기 위해서는 다음과 같이 생각합니다. 명백하게 $x$축에서부터 $y$축까지의 각도는 $90^\circ$인 것을 알고 있으니까 빨간색 각도를 알고 있습니다. 그럼 나머지 파란색 각도만 알면 $\theta$를 구할 수 있어요. 이건 힘의 각 성분..

안녕하세요, 설군입니다. 도체의 전기적 성질에 대해 몇 가지를 알아봅시다. 특히나, 전기적인 평형 상태에 있을 때 도체의 성질에 대해 알아봅시다. 전기적 평형 상태라는 건 중성이라 알짜 전하량이 0인 상황을 말하는 게 아니라, 전하들이 도체에서 돌아다니는 그런 상황을 말하는 게 아니라, 제 자리를 찾아 평형 상태에 도달한 상황을 말합니다. 1. 도체의 내부는 전기장이 0이다. (도체의 모양에 관계 없음) 2. 도체가 다른 도체와 연결되어있지 않고, 전하를 띠고 있을 경우 그 전하는 도체의 표면에만 분포하게 된다. 3. 대전된(전하를 띠는) 도체의 표면 바로 근처(도체 밖)는, 도체의 표면에 수직이며 크기가 $\sigma/\varepsilon_0$인 전기장을 만든다. 4. 도체가 뾰족한 곳이 있다면, 그 ..

안녕하세요, 설군입니다. 이번에는 유한한 길이의 직선에 전하가 콕콕콕 박혀 있는, 직선 전하 분포가 만드는 전기 퍼텐셜을 구해봅시다. 총 전하량이 $Q$이고, 총 길이가 $l$인 직선 전하가 있습니다. 이 직선 전하의 전하 분포가 균일하다고 하면, 이 직선의 전하 밀도가 균일하다는 이야기입니다. 선 전하 밀도는 다음과 같이 정의합니다. $$ \text{(선 전하 밀도)}= \frac{\text{(총 전하량)}}{\text{(총 길이)}} $$ $$ \lambda = \frac{Q}{l} $$ 이번에도 역시 작은 전하 조각이 만드는 전기 퍼텐셜을 써 보면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$ dV = k \frac{dq}{r} = k \frac{dq}{\sqrt{a^2+x^2}} $$ 여기서 전하 조각의 전..

안녕하세요, 설군입니다. 총 전하량이 $Q$로 균일하게 대전된 원판이 있는데, 원판의 중심으로부터 $x$만큼 떨어진 거리에서 원판이 만드는 전기 퍼텐셜을 구해봅시다. 이전에 고리 전하 분포가 만드는 전기 퍼텐셜을 구했었는데 그것을 이용합니다. (https://seolgoons.tistory.com/97) 물리학에서 이런 문제를 풀 때에는 일단 작은 조각을 생각하고 그 조각을 모조리 다 더하는(적분하는) 방식으로 문제를 풉니다. 여기서 우리가 생각할 작은 조각은, 물론 점처럼 작은 조각을 생각해서 전부 적분해버리는 방법도 있지만, 작은 고리를 생각해서 적분하면 쉽습니다. 원판을 이루는 수많은, 반지름이 모두 다 다른 고리 조각들을 생각해보세요. 그 수 많은 고리들 중에 하나를 그림으로 표현하면 위의 그림과..