균일하게 대전된 원판이 만드는 전기 퍼텐셜

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안녕하세요, 설군입니다.

총 전하량이 $Q$로 균일하게 대전된 원판이 있는데, 원판의 중심으로부터 $x$만큼 떨어진 거리에서 원판이 만드는 전기 퍼텐셜을 구해봅시다.
이전에 고리 전하 분포가 만드는 전기 퍼텐셜을 구했었는데 그것을 이용합니다.
(https://seolgoons.tistory.com/97)

물리학에서 이런 문제를 풀 때에는 일단 작은 조각을 생각하고 그 조각을 모조리 다 더하는(적분하는) 방식으로 문제를 풉니다.
여기서 우리가 생각할 작은 조각은, 물론 점처럼 작은 조각을 생각해서 전부 적분해버리는 방법도 있지만, 작은 고리를 생각해서 적분하면 쉽습니다.

원판을 이루는 수많은, 반지름이 모두 다 다른 고리 조각들을 생각해보세요. 그 수 많은 고리들 중에 하나를 그림으로 표현하면 위의 그림과 같이 되는데, 그 중에 반지름이 $r$인 한 고리 조각을 색깔로 표현했습니다. 수많은 고리 조각들의 반지름은 0부터 최대 $a$까지 연속적으로 있을 거예요, 그런데 그 고리들의 전하량을 모두 다 다를거예요. 왜냐하면 전하 분포는 전체적으로 균일하므로 고리의 크기가 다르면 전하가 다르니까요. 큰 고리가 전하량이 더 크겠죠?

이 원판 전하의 전하가 균일하게 분포되어있으므로 원판이라는 면에 분포된 전하 밀도는 균일합니다. 이 면 전하 밀도를 $\sigma$라고 합시다. 그렇다면

$$ \text{(전하량)} = \text{(면 전하 밀도)} \times \text{(면적)} $$

이 되므로, 임의의 반지름이 $r$인 고리에 대해서, 그 고리의 전하량은

$$ dq = \sigma \times dA $$

가 됩니다. 그런데 앞서 말했듯이 고리의 반지름이 달라질 때마다 고리의 크기가 달라지므로 고리의 전하량은 모두 다릅니다. 그 고리의 면적 $dA$는 달라집니다.
그래서 고리의 면적을 반지름 $r$로 표현해야, 고리의 반지름과 고리의 전하량이 무슨 관계인지 관계식을 얻을 수 있습니다.

우리가 하려는 건, 균일하게 대전된 원판이 만드는 전기 퍼텐셜을 구하려는 건데, 그걸 하기 위해서 원판이 수많은, 반지름이 다 다른 고리 전하들로 만들어져 있다고 생각할 거고. 고리 하나가 만드는 전기 퍼텐셜은 구할 줄 아니까, 그것들을 모조리 구해서 더할 거예요. 그러기 위해서는 고리 하나의 전하량을 알아야 되는데 그 전하량은 고리의 크기에 따라 다르니까. 그걸 구하고 있는 거예요.

고리 하나의 두께는 $dr$로 일정하다고 놓을 수 있습니다.
고리의 면적은 다음과 같이 큰 원에서 작은 원을 빼는 개념으로 구할 수 있어요.

이 때 $(dr)^2$은 매우 작은 양이라 무시할 수 있어요. 즉 $ dA = 2 \pi r dr$입니다.
그래서 우리는 이제 앞서 구하고자 했던 전하량과 반지름 사이의 관계식을 구할 수 있습니다.

$$ dq = \sigma \cdot dA = \sigma \cdot 2 \pi r dr $$

한편, 이전 글에서 구한 것처럼 반지름이 $a$인 고리가 중심으로부터 $x$지점에 만드는 전기 퍼텐셜은

$$ V = k \frac{Q}{\sqrt{a^2+x^2}} $$

입니다. 그런데 지금 이 글에서는 전하량이 $dq$인 고리 하나의 반지름을 $r$로 두었으니, 고리 조각이 만드는 전기 퍼텐셜 $dV$는

$$ dV = k \frac{dq}{\sqrt{r^2+x^2}} $$

이 됩니다. 그렇다면 고리를 모두 더하면, 원판이 만드는 전기 퍼텐셜이 되므로

$$ V = \int dV = k \int \frac{dq}{\sqrt{r^2+x^2}} $$

이 됩니다. 그런데, 앞서 열심히 구한 것처럼 $dq$라는 적분 변수가, 고리의 반지름 $r$에 관련이 있으므로, 식을 대입해서 다시 정리해주면,

$$ V = k \int \frac{\sigma 2 \pi r dr}{\sqrt{r^2+x^2}} $$

이 됩니다. 그렇다면 적분은 $r$에 대해 하게 되는거고, 그 범위는? 고리의 반지름은 0부터 $a$까지라고 하였으므로, 최종적인 적분 식은

$$ V = k\sigma \int_0^a \frac{2 \pi r}{\sqrt{r^2+x^2}} dr $$

이 됩니다. 적분을 수행하기 위해서 다음과 같이 치환하면 편합니다.

$$ t = r^2 + x^2 $$

그러면,

$$ dt = 2r dr $$

이 되므로, 원래의 적분 식에 있던 $2rdr$을 치환할 수 있습니다. 즉

$$ \begin{split} V =& k \sigma \int_0^a \frac{2 \pi r}{\sqrt{r^2+x^2}} dr  \\ =& k \pi \sigma \int \frac{dt}{\sqrt{t}} \end{split} $$ 

이 됩니다. 그러면 그냥

$$ \int \frac{dt}{t^{1/2}} = \int t^{-1/2} dt = -2 t^{1/2} $$

으로 쉽게 적분할 수 있습니다. 이제 $t$를 치환했던 것을 원래대로 돌려 놓고, 위끝 아래끝을 대입해주면

$$ \begin{split} =& \left[ -2 (r^2+x^2)^{1/2} \right]_{r=0}^{r=a} \\ =& -2 \left[ x - (a^2+x^2)^{1/2} \right] \end{split} $$

따라서 최종적으로, 원판 전체가 만드는 전기 퍼텐셜은

$$ V = 2 k \pi \sigma \left[ \sqrt{a^2+x^2} - x \right] $$

가 됩니다.

마찬가지로 원판이 만드는 전기장을 구하려면, 전기 퍼텐셜을 구했으므로 이것에 그래이디언트를 취해준 후 마이너스 부호를 붙여주면 됩니다.

$$ \begin{split} \vec{E} =& - \vec{\nabla} V \\ =& - \hat{x} \frac{dV}{dx} \\ =& - \hat{x} 2k \pi \sigma \frac{d}{dx} \left[ (a^2+x^2)^{1/2} - x \right] \\ =& -\hat{x} 2k \pi \sigma \left( \frac{1}{2} \frac{2x}{\sqrt{a^2+x^2}} - 1 \right) \\ =& -\hat{x} 2 k \pi \sigma \left( \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - 1 \right) \end{split} $$

이와 같이 구할 수 있습니다!