전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜 구하기

반응형

안녕하세요, 설군입니다.

전기 쌍극자는 다음과 같은 전하 배치를 말합니다.

양전하와 음전하의 전하량이 같고, 둘이 특정 거리만큼 떨어져 있는 상황입니다. 이 경우에는 양전하와 음전하가 서로 $2a$의 거리 만큼 떨어져 있습니다. 이 전기 쌍극자의 중심이 원점에 있다고 생각하고, 먼저 $y$축 위의 임의의 P점에서 전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜을 구해봅시다.

점전하 두개가 만드는 전기 퍼텐셜을 구하면 되는 상황이므로, 각각의 전하(양전하와 음전하)가 P지점에 만드는 전기 퍼텐셜을 각각 구한 다음 더해주면 됩니다.
임의의 하나의 전하가 거리 $r$만큼 떨어진 지점에 만드는 전기 퍼텐셜은

$$ V(r) = k \frac{q}{r} $$

입니다. 따라서 전기 쌍극자가 P점에 만드는 전기 퍼텐셜은

$$ V_{\rm{P}} = k \frac{q}{\sqrt{a^2 + y^2}} + k \frac{-q}{\sqrt{a^2 + y^2}} = 0 $$

이 됩니다. 양전하로부터 P점까지 떨어진 거리는 피타고라스의 정리를 이용해서 밑변이 $a$이고 높이가 $y$인 직각 삼각형의 빗변의 길이를 구해주면 되고, 음전하로부터 P점까지 떨어진 거리도 역시 마찬가지로 구해주면 됩니다.
양전하와 음전하가 동일한 거리만큼 떨어져 있는 지점이 바로 P이므로 전기 퍼텐셜이 서로 상쇄되어 0인것을 알 수 있습니다. 이 값은 $y$값에 무관하므로, $y$축 상의 어떤 위치에서도 전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 0임을 알 수 있습니다.

이번에는 $x$축 위의 R 지점에 전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜을 구해봅시다.
양전하로부터 R 지점까지의 거리는 $a+x$가 되겠고, 음전하로부터 R 지점까지의 거리는 $x-a$가 되므로,

$$ V_{\rm{R}} = k \frac{q}{x+a} + k \frac{-q}{x-a} = - k \frac{2 q a}{x^2 - a^2} $$

이 됩니다.
어 그런데, $y$방향에 대해서 구한 결과로 생각해보면, 전기 쌍극자가 원점에 만드는 퍼텐셜이 0이 나옵니다. 그리고 직관적으로 생각해보아도 원점 역시 두 전하로부터 동일한 거리에 떨어진 지점이므로 상쇄되어 전기 퍼텐셜이 0이 나오는 것이 맞아보입니다.
$x$방향에 대해서 구한 결과로 생각해보면, $x=0$인 곳에서의 전기 퍼텐셜도 역시 0이 나와야 할 것 같지만, 그렇지가 않습니다.

결론부터 이야기하자면, 전기 쌍극자의 중앙에서의 전기 퍼텐셜은 일반 물리학 수준에서는 생각하지 않기로 합니다. 전공 전자기학 과목에서 나오는 내용인데, 점전하의 중심 또는 전기 쌍극자의 중심에서는 전기장, 전기 퍼텐셜 등이 특이한 값을 가지게 되어 이것을 Dirac 이라는 과학자의 이름을 딴 함수를 이용해서 정의합니다. (Dirac의 델타 함수)

어쨌든! $y$축에 대해서는 (원점이 아닌 곳에서) 전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 0이고,
$x$축에 대해서는 (원점이 아닌 곳에서) 전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 위에서 구한 것으로 결정됩니다.

그렇다면, 마지막으로 $x$축 상에서 전기 쌍극자가 만드는 전기장을 구해봅시다. 그 전에, 전기 쌍극자 사이의 거리가 아주 작고, 내가 전기장을 구하고자 하는 위치 $x$가 아주 멀다고 생각합시다. 그렇다면 $$ x \gg a$$의 근사를 적용하면,

$$ V_{\rm{R}} = \lim_{x \gg a} ( -k \frac{2 q a}{x^2 - a^2} ) \approx -k \frac{2qa}{x^2} $$

으로 전기 퍼텐셜의 분모 식이 간단해집니다. 그리고 전기장과 전기 퍼텐셜은

$$ E_x = - \frac{dV_x}{dx} $$

의 관계에 있으므로, R 지점에서의 전기장은

$$ E_x = - \frac{dV}{dx} = - \frac{d}{dx} ( -k \frac{2qa}{x^2}) = -k \frac{4qa}{x^3} $$

으로 구할 수 있습니다.
점전하가 만드는 전기장의 크기는 거리의 제곱에 반비례하는데, 전기 쌍극자가 만드는 전기장의 크기는 전기장 쌍극자의 중심으로부터의 거리의 세제곱에 반비례한다는 차이점이 있어요. (참고로 $x$가 양수인 경우를 생각하였습니다. 이 경우에는 음전하 쪽에 가까운 구간이기 때문에, 전기장의 부호가 마이너스가 붙어있습니다. 일반적인 위치에 대해서는 위치마다 전기장의 부호가 다릅니다. 막대자석의 자기장 모양과 같이 전기 쌍극자가 만드는 전기장도 비슷해요)