전기적 평형 상태의 도체의 성질

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안녕하세요, 설군입니다.

도체의 전기적 성질에 대해 몇 가지를 알아봅시다. 특히나, 전기적인 평형 상태에 있을 때 도체의 성질에 대해 알아봅시다.
전기적 평형 상태라는 건 중성이라 알짜 전하량이 0인 상황을 말하는 게 아니라, 전하들이 도체에서 돌아다니는 그런 상황을 말하는 게 아니라, 제 자리를 찾아 평형 상태에 도달한 상황을 말합니다.

1. 도체의 내부는 전기장이 0이다. (도체의 모양에 관계 없음)
2. 도체가 다른 도체와 연결되어있지 않고, 전하를 띠고 있을 경우 그 전하는 도체의 표면에만 분포하게 된다.
3. 대전된(전하를 띠는) 도체의 표면 바로 근처(도체 밖)는, 도체의 표면에 수직이며 크기가 $\sigma/\varepsilon_0$인 전기장을 만든다.
4. 도체가 뾰족한 곳이 있다면, 그 곳(표면)에 전하 밀도가 매우 높다.

1. 도체의 내부는 전기장이 0이다. (도체의 모양에 관계 없음)

1번에 대해 생각해보자면, 우리가 생각하는 상황은 전기적인 평형 상태이라는 걸 다시 기억해야 합니다.
도체 내부의 전기장이 0이 아니라면, 전하가 그것 때문에 돌아다닐 거예요. 그러니까 도체 내부의 전기장은 0이 아니어야 합니다.
다음과 같은 상황을 생각해봅시다.

외부 전기장 $\vec{E}$가 펼쳐져 있는 곳에 중성의 도체를 넣은 상황입니다.

그렇다면 위의 그림과 같이, 도체 내부에 전하 분포가 바뀌게 될 거에요.
정확히 말하자면 도체 내의 자유 전자들이 전기장의 반대 방향으로 이동하면서 상대적인 전하 분포가 저렇게 되는 것이죠.
그렇다면 이제 도체 내부의 알짜 전기장을 생각해보면,
외부 전기장은 도체 내부에 윗방향 전기장을 만들것이고, 도체 내부의 전하 분포는 자기들이 직접 아랫방향으로 전기장을 만들 거예요. 이 둘이 정확하게 상쇄되어 도체 내부의 알짜 전기장은 0이 됩니다.
이것이 바로 도체가 전기적 평형 상태일 때 도체 내부에 전기장이 0이 되는 원리입니다.
좋은 도체를 기준으로 이렇게 순식간에 전기적 평형 상태가 되는 데 걸린 시간은, 도체를 전기장에 넣고 나서 $10^{-16}$ 초 라고 합니다.

2. 도체가 다른 도체와 연결되어있지 않고, 전하를 띠고 있을 경우 그 전하는 도체의 표면에만 분포하게 된다.

이를 가우스 법칙과 연관지어 생각해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

위의 그림과 같이 임의의 모양의 도체의 내부에 가우스 곡면을 잡았을 때, 도체 내부의 전기장이 0이라는 사실을 미리 알고있다고 한다면, 가우스 곡면의 어느 지점을 잡더라도 전기장이 0입니다. 따라서

$$ \oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{\sum Q}{\varepsilon_0} $$

가우스 법칙 식의 좌변이 0이라는 말입니다. 가우스 곡면 위의 어느 지점을 잡더라도 전기장이 0이므로 좌변 즉 전기 플럭스가 0이므로, 우변도 자연스럽게 0이 됩니다. 즉 내가 잡은 도체 내부의 가우스 곡면, 그 곡면 내부의 알짜 전하량은 0이라는 말입니다. 따라서 도체 내부에는 전하가 존재하지 않습니다. (표면에만 퍼져 있습니다)

3. 대전된(전하를 띠는) 도체의 표면 바로 근처(도체 밖)는, 도체의 표면에 수직이며 크기가 $\sigma/\varepsilon_0$인 전기장을 만든다.

3번째 성질을 이야기하기 위해서 다음과 같은 그림을 생각해봅시다.
도체의 표면에 전하가 퍼져있는 상황에, 원통 모양으로 도체 표면에 수직한 가우스 곡면을 잡아서 플럭스를 계산해봅시다.

만약 전기장이 도체 표면과 평행한 성분이 존재한다면, 그 평행한 성분의 전기장 때문에 도체 표면 전하가 움직이게 될거예요!
그런데 전하가 움직이면 더 이상 전기적 평형 상태가 아니니, 도체 표면과 평행한 성분의 전기장은 존재하지 않습니다.
따라서 도체 표면에 위와 같이 가우스 곡면을 잡았을 때에는, 유일하게 도체 표면에 수직한 방향의 전기장이 존재하므로 전기 플럭스는 간단하게 $\Phi = EA$로 계산됩니다. 그렇다면,

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = EA = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} $$

이므로,

$$ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} $$

이 됩니다. 즉 도체 표면에는 전기장의 세기가 $E=\sigma/\varepsilon$인 수직한 방향의 전기장이 생깁니다.

4. 도체가 뾰족한 곳이 있다면, 그 곳(표면)에 전하 밀도가 매우 높다.

마지막으로, 4번 성질에 대해서 생각해봅시다. 도체가 뾰족한 곳이 있다고 할 때 그 뾰족하다는 말은, 마치 바늘처럼 뾰족할 수도 있는데, 주변에 비해서 뾰족하다는 이야기입니다. 그래서 다음과 같은 그림을 보고 생각해봅시다.

표시한 A, B 지점에서는 각각 표면과 수직한 방향의 전기장이 펼쳐져 있을 거예요. 만약 이 전기장을 도체 표면을 따라 내적하는 상황을 생각해 본다면, 도체 표면을 따르는 방향과 전기장 방향은 항상 수직하므로, 그 내적값은 항상 0이 됩니다.

$$ \vec{E} \cdot d\vec{s} =0 $$

이걸 이용해서 A, B 지점 사이의 퍼텐셜 차이를 구해봅시다. 전기 퍼텐셜 차이는 단지 두 지점 사이에 전기장의 거리에 대한 적분인데 마이너스 부호를 붙여준 것입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있어요.

$$ V_{\rm{B}} - V_{\rm{A}} = - \int _{\rm{A}}^{\rm{B}} \vec{E} \cdot d\vec{s} =0 $$

내적이 0이라고 했으므로 퍼텐셜 차이가 0입니다. 이 말은 도체의 임의의 두 지점 A, B를 잡을 때 도체 표면의 어느 지점을 잡더라도 똑같이 성립하기 때문에, 도체 표면의 어느 점이라도 두 점 사이의 전기 퍼텐셜 차이가 없다는 말입니다.
이걸 도체 표면이 Equipotential 인 상황이라고 말합니다. 도체 표면에는 전기 퍼텐셜 차이가 없다. 즉 도체 표면에는 전기 퍼텐셜이 항상 일정하다는 이야기입니다.

뾰족한 곳에 전하 밀도가 높아진다는 것은 이것과 관련이 있습니다. 도체 표면이 등전위(Equipotential)가 되기 위해서 전하들이 분포하기 때문입니다. 다음과 같은 간단한 예시를 생각해봅시다.

 

반지름이 작은 구형 도체 반지름이 큰 도체가 각각 준비되어 있었는데, 어느 순간 그 두 도체를 전하가 움직일 수 있는 도선으로 연결하였다고 합시다. 두 도체를 연결한 후에 전기적 평형 상태에 도달하였을 때, 그 때에 각각의 구체의 전하량을 $q_1, q_2$라고 합시다.

그렇다면 각각의 구체의 표면의 전기 퍼텐셜을 간단하게 다음과 같이 구할 수 있고, 그 둘의 전기 퍼텐셜은 같아야 합니다. 왜냐하면 두 도체가 연결되어 하나의 도체가 되었으므로 등전위를 이루어야 하기 때문입니다. (도체 내부는 전기장이 0이지만, 전기 퍼텐셜은 0이 아닙니다. 그러나 상수입니다!)

$$ V = k \frac{q_1}{r_1} = k \frac{q_2}{r_2} $$

그럼 이제 각각의 구체 표면에서의 전기장을 $E_1, E_2$라고 하고 그것의 비율을 구해봅시다. 역시 간단하게 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$ \frac{E_1}{E_2} = \frac{k \frac{q_1}{r_1^2}}{k \frac{q_2}{r_2^2}} = \frac{\frac{V}{r_1}}{\frac{V}{r_2}}=\frac{r_2}{r_1} $$

반지름이 작은 녀석이 전기장의 세기가 크고, 반지름이 큰 녀석이 전기장의 세기가 작다는 결론이 나옵니다.

이 말은 즉슨, 도체의 표면에서의 전기장은 $ \sigma / \varepsilon_0$로 결정되었었는데, 그 $\sigma$가 반지름에 반비례한다는 이야기입니다. 전하 밀도가 반지름이 작은곳에 몰린다는 이야기예요.
이것을 일반적으로 확장하면 도체가 뾰족하고 좁은곳일 수록 전하 밀도가 크다는, 네 번째 성질의 이야기가 됩니다.

다시 정리하면 다음과 같습니다.

1. 도체의 내부는 전기장이 0이다. (도체의 모양에 관계 없음)
2. 도체가 다른 도체와 연결되어있지 않고, 전하를 띠고 있을 경우 그 전하는 도체의 표면에만 분포하게 된다.
3. 대전된(전하를 띠는) 도체의 표면 바로 근처(도체 밖)는, 도체의 표면에 수직이며 크기가 $\sigma/\varepsilon_0$인 전기장을 만든다.
4. 도체가 뾰족한 곳이 있다면, 그 곳(표면)에 전하 밀도가 매우 높다.

+ 도체 내부는 전기장이 0이지만, 퍼텐셜은 0이 아닙니다. 퍼텐셜은 상수입니다! (도체 내부와 표면 모두 같은 값으로)