고리 전하 분포가 만드는 전기 퍼텐셜

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안녕하세요, 설군입니다.

다음과 같이 반지름이 $a$이고 총 전하량이 $Q$인 고리 전하가 있는데, 고리 전하의 중심으로부터 $x$만큼 떨어진 곳에서, 고리 전하 분포가 만드는 전기 퍼텐셜을 구해봅시다.

고리에 전류가 흐르는 게 아니라, 고리 모양으로 전하들이 분포되어있는 거예요. 고리 모양 물체에 양전하 또는 음전하가 콕콕콕 균일하게 박혀있는 상상을 하면 됩니다.

전체 고리 전하가 만드는 전기 퍼텐셜을 구하기 위해서, 이 고리 전하는 아주 작은 전하 조각들이 모여있는 거라고 생각할 수 있습니다. 그 중에 하나를 그림에서 표시한 것처럼 전하량이 $dq$인 조각 전하(미소 전하)라고 생각해봅시다.
미소 전하 $dq$가 P점에 만드는 전기 퍼텐셜은, 전하량이 $dq$인 하나의 점전하가 만드는 전기 퍼텐셜 식을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ V = k \frac{dq}{r} $$

그런데 여기서 $r$은 미소 전하로부터 내가 원하는 위치까지의 거리이므로 $r = \sqrt{a^2+x^2}$을 대입해주면 됩니다.

따라서 고리 전하 전체가 만드는 총 전기 퍼텐셜은

$$ V = k \int \frac{dq}{\sqrt{a^2+x^2}} $$

와 같이 됩니다. 적분 변수가 무엇인지를 살펴보면, 이 적분은 전하량에 대해 적분하고 있다는 것을 알 수 있어요, 그리고 $\sqrt{a^2+x^2}$은 전하량이랑 무관한 그냥 거리일 뿐이므로, 적분 밖으로 튀어나와서

$$ V = \frac{k}{\sqrt{a^2+x^2}} \int dq = k \frac{Q}{\sqrt{a^2+x^2}} $$

이 됩니다. 이게 바로 총 전하량이 $Q$인 고리 전하가 만드는 전기 퍼텐셜입니다.

다시 기억을 해보자면, 전기장은 벡터량인 물리량이라 방향이 있지만, 전기 퍼텐셜은 방향이 없는 스칼라 물리량입니다. 따라서 위에서 구한 고리 전하가 만드는 전기 퍼텐셜은 그냥 값일 뿐입니다. 방향을 고려하지 않아도 되니 계산이 크게 복잡하지 않습니다.

고리 전하가 만드는 전기 퍼텐셜을 구하고 나서 이번에는 고리 전하가 만드는 전기장을 구하고 싶다고 한다면, 전기 퍼텐셜에 그래이디언트를 취해주고 마이너스를 붙여주면 됩니다. 이 말은 다름이 아니라 전기 퍼텐셜을 거리에 대해 미분해주고 마이너스 부호를 붙여주면 된다는 뜻입니다. 이를 수학적으로 쓰면,

$$ \vec{E} = -\vec{\nabla}V = - \hat{x} \frac{d}{dx} V - \hat{y} \frac{d}{dy} V - \hat{z} \frac{d}{dz}V$$

를 구한다는 말입니다. 그런데 우리는 $x$축을 문제를 풀기 전에 잡았었고, 고리 전하가 만드는 전기 퍼텐셜의 결과식은

$$ V = k \frac{Q}{\sqrt{a^2+x^2}} $$

이기 때문에, $x$이외의 좌표에 대해서 미분하는 두 번째 항과 세 번째 항의 값은 0입니다. 따라서 이것만 계산해주면 됩니다.

$$ \begin{split} \vec{E} =& -\hat{x} \ \frac{dV}{dx} \\ =& -\hat{x} \ k Q \frac{d}{dx} (a^2 + x^2)^{-1/2} \\ =& -\hat{x} \ k Q \left(-\frac{1}{2} \right) (a^2+x^2)^{-1/2} (2x) \\ =&  \hat{x} \ k \frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}} Q \end{split} $$

즉 고리 전하는 $+x$방향으로 향하는 전기장을 만든다는 거고, 거리에 대해 비례하는지 반비례하는지 어떤지를 살펴보면, $ \frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}$에 비례한다는 걸 알 수 있는데, $x$가 점점 커질 수록 분모의 $x$가 차수가 더 높기 때문에, 거리가 멀어질 수록 전기장의 세기가 (당연하지만) 작아진다는 정보를 얻을 수 있습니다.