설군의연구소

안녕하세요, 설군입니다. 어떤 입자가 $x$ 축 상에서 움직이고 있을 때, 물체의 위치-시간 그래프가 주어졌습니다. 즉 시간에 따라서 물체의 위치가 $x$ 축 상의 어떤 위치에 있는지를 표시한 것입니다. 그래프가 포물선 모양이라고 해서 물체의 운동 경로가 포물선 모양이라는 게 아닙니다!(a) 시간이 1.5 초 일 때부터 4 초 일 때까지의 물체의 평균 속도를 구해봅시다.평균 속도라는 물리량은, 벡터량입니다. 평균 속도의 정의는, 물체의 변위 나누기 걸린 시간입니다.$$\text{(평균 속도)} = \frac{\text{(변위)}}{\text{(걸린 시간)}}$$평균 속도라는 물리량이 벡터량이라는 의미는, 주어진 정의에서 변위라는 물리량도 벡터량이라는 의미입니다.변위라는 것은 물체의 나중 위치 빼기 처..

안녕하세요, 설군입니다. 다음 그림과 같이 어떤 입자가 변하는 힘 $F_x$ 을 받으며 위치가 변하고 있습니다. 이 경우에 입자에 가해진 힘이 한 일을 구해봅시다.입자가 받는 힘 vs 입자의 위치 그래프에서, 특정 위치부터 특정 위치까지 입자에 가해진 힘이 한 일은특정 위치부터 특정 위치까지의 그래프의 면적과 일치합니다. 그 이유는 일을 구하는 식이$$W = \int_{x=a}^{x=b} \vec{F} \cdot d \vec{x}$$로 표현되기 때문입니다. 어떤 위치 $x=a$ 부터 어떤 위치 $x=b$ 까지, 입자에 가해진 힘 $\vec{F}$ 가 한 일은, 위와같이 적분식으로 주어진다는 의미입니다. 삼차원 공간상에서의 적분은 어렵지만, 이 문제의 경우에는 입자가 $x$ 축 선 상에서만 움직이고, ..

안녕하세요, 설군입니다. 구면 좌표계에서 적분을 할 때, 구면 좌표계에서의 부피 요소를 기억해내야 합니다. 다음 그림을 기억하면 쉽게 공식을 기억해낼 수 있습니다. 구면 좌표계에서는 z축으로부터 임의의 점까지의 각도를 $\theta$ 로 나타냅니다. 그리고 x축으로부터 임의의 점까지의 xy 평면 상에서의 각도를 $\phi$ 로 나타냅니다. 그리고 원점으로부터 임의의 점까지의 직선 거리를 $r$ 로 나타냅니다.그래서 한 점을 나타내는 좌표는 $r$, $\theta$, $\phi$ 로 결정됩니다. 그 점을 그림상에서 노란색으로 표시하였습니다. 이제 임의의 한 점에서, 각 변수들을 약간만큼 증가시켜서 각각 $\Delta r$ 만큼 길이를 증가시키고, $\Delta \theta$ 만큼 z축으로부터의 각도를 살짝..

안녕하세요, 설군입니다. 위 그림과 같이 자기장이 화면을 뚫고 들어가는 방향으로 $\vec{B}_{\mathrm{in}}$ 으로 균일하게 펼쳐져 있는 공간이 있습니다. 이 공간의 가로 길이는 총 $3w$ 입니다. 이 공간에, 왼쪽에서 출발해서 오른쪽으로 속도 $\vec{v}$ 로 일정하게 움직이는 ㅁ 모양의 도선이 있습니다. 이 고리 도선의 세로 길이는 $l$, 가로 길이는 $w$ 라고 하겠습니다. 고리 도선의 오른쪽 부분이 자기장 영역에 닿은지점을 그림과 같이 $x=0$ 으로 출발점으로 잡겠습니다. 그리고 $x$ 가 증가함에 따라 고리 도선을 통과하는 자기 플럭스가 어떻게 되는지를 생각해보면 다음과 같습니다. 자기 플럭스 $\Phi_{\mathrm{B}}$ 라는 물리량은 결국 자기장과 면적의 곱으로 주..

안녕하세요, 설군입니다. 다음과 같이 평평하고, 지면으로부터의 각도가 $\theta$ 인 빗면에서 물체가 받는 힘을 모조리 분석해봅시다. 물체가 받는 중력은 아래 방향으로 $mg$ 입니다. 그리고 빗면과 수직한 방향으로 수직항력 $N$ 을 받습니다. 이 수직항력을 $x$, $y$ 방향으로 각각 분해하기 위해 빗면 각도 $\theta$ 를 요리조리 잘 분석하여 각도를 표시해봅니다. 잘 표시해보면 이렇게 닮은꼴 삼각형을 찾을 수 있습니다. 물체가 받는 수직항력의 $x$ 성분은 $N_x$ 로 표시하였고, sine 이 곱해진 값이 됩니다. 물체가 받는 수직항력의 $y$ 성분은 $N_y$ 로 표시하여, cosine 이 곱해진 값이 됩니다. 따라서, 빗면의 각도가 $\theta$ 인 평평한 빗면에 물체가 놓여있을 ..

안녕하세요, 설군입니다. 그림과 같이 화면을 뚫고 들어가는 방향으로 자기장 $\vec{B}_{\mathrm{in}}$ 이 펼쳐져 있습니다. 그곳에는 길이가 $l$인 금속 막대(두껍게 그렸음)가 있습니다. 이 금속 막대가 일정한 속도 $\vec{v}$ 로 오른쪽으로 움직이고 있는 상황을 생각해 봅시다. 금속 막대가 오른쪽으로 움직이고 있으므로, 금속 막대 내의 전자도 오른쪽으로 움직이게 됩니다. 그런데, 자기장이 펼쳐진 공간에서 전하를 띤 입자가 움직일 때에는 자기력을 받습니다. 오른 손바닥 법칙을 이용하여 전자가 받는 자기력의 방향을 찾아보면, 그림에서 표시한 것처럼 파란색 벡터 방향입니다. 그 자기력의 세기와 방향을 $\vec{F}_{\mathrm{B}}$ 라고 표시했습니다. 금속 막대 내부에는 전자가..

안녕하세요, 설군입니다. 위의 그림과 같이 반지름이 $r=1.25\ \mathrm{cm}$ 이고, 총 길이가 $l = 30.0\ \mathrm{cm}$ 인 솔레노이드가 있습니다. 그리고 이 솔레노이드의 총 감은수는 $N=300$ 회 이며, 이 솔레노이드에 전류가 $I = 12.0\ \mathrm{A}$ 흐르고 있습니다. 그림과 같이 반지름이 $R=5.00\ \mathrm{cm}$ 이며, 솔레노이드를 수직으로 관통하는 원판 모양의 임의의 면을 잡았을 때 (a) 이 면을 통과하는 플럭스를 구해봅시다. 그리고 (b) 위의 그림과 같은 도넛 같은 면을 통과하는 플럭스도 구해봅시다. 이 때 도넛의 내경은 $a=0.400\ \mathrm{cm}$ 이고, 외경은 $b=0.800\ \mathrm{cm}$ 입니다. (a..

안녕하세요, 설군입니다. 전류가 흐르는 도선 주변에 자기장이 생긴다는 것은 매우 중요한 사실입니다. 자성을 띠는 물질이 어떻게 자성을 띨 수 있는지도 그것으로 설명이 됩니다! 전류가 흐르는 도선 이라는 개념이 자석을 설명할 때에 어떻게 활용되는지 알아봅시다. 원자의 자기 쌍극자 기초적인 원자 모형을 생각해봅시다. 기초적인 원자 모형은, 양성자가 중심에 있고 전자가 양성자를 중심으로 원 궤도를 도는 모형을 말합니다. 어떤 물체가 원 궤도를 임의의 속력으로 돌게 된다면, 그 물체는 각운동량을 가지게 됩니다. $$\begin{split} \vec{L} &= \vec{r} \times \vec{p} \\ &= \vec{r} \times m \vec{v} \end{split}$$ 그림에서 각운동량의 방향은, ..

안녕하세요, 설군입니다. 전기장이 펼쳐진 공간에 내가 임의의 면적을 잡고, 그 면적을 통과하는 전기력선 다발이 얼마나 되는지를 말해주는 물리량으로, *전기 플럭스* 라는 물리량이 있습니다. 이는 $\Phi_{\mathrm{E}}$ 로 표현합니다. 자기장에 대해서도 정확하게 같은 개념을 정의할 수 있습니다. 이는 *자기 플럭스* 라고 합니다. 그림과 같이 임의의 평면 또는 곡면이어도 상관 없는 면을 내가 정하고, 그 면을 뚫고 지나가는 자기력선 다발이 얼마나 있는지를 계산하고자 합니다. 다음과 같이 자기 플럭스가 정의됩니다. 자기장이 향하는 방향과, 면적이 향하는 방향의 관계가 중요합니다. 면적이 향하는 방향은, 면적 벡터의 방향을 말합니다. 면적 벡터의 방향은 항상 어떤 면에 수직인 방향입니다. 곡면의 ..

안녕하세요, 설군입니다. 전류가 흐르는 도선은 주변에 자기장을 만듭니다. 직선 도선 주변에는 그 도선을 휘감는 방향으로 자기장이 생기고, 원형 도선 주변에는 원형 도선을 중앙을 통과하는 방향으로 자기장이 생깁니다. 솔레노이드는 직선 도선을 용수철처럼 빙빙 감아 만든것을 말합니다. 이는, 원형 도선이 여러 개 겹쳐있는 것으로 생각할 수 있습니다. 솔레노이드의 내부에는 세기와 방향이 일자로 균일한 자기장이 생기는데, 어떻게 생기는지 알아봅시다. 삼차원적으로 이해를 해야되는데, 다음과 같이 솔레노이드가 $x$ 축 방향과 나란하게 놓여 있고, 솔레노이드의 중앙이 $x$ 축과 일치하는 상황을 생각해봅시다. (그림상으로는 원 여러개를 겹쳐놓은 것으로 그렸습니다만, 사실은 용수철처럼 연결되어있는 상황입니다) 솔레노이..