점전하에 의한 전기 퍼텐셜과 전기 퍼텐셜 에너지

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안녕하세요, 설군입니다.

어떤 전기장이 펼쳐진 공간 속에서 A점과 B점 사이의 전기 퍼텐셜 차이는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$ \Delta V = V_{\rm{B}} - V_{\rm{A}} = - \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} \vec{E} \cdot d\vec{s} $$

지난 글에서는 전기장이 균일하게 펼쳐진 공간에서의 전기 퍼텐셜 차이, 그리고 그 공간 안에 전하를 띤 입자가 있을 때 그 입자가 가지는 전기 퍼텐셜 에너지 차이를 계산했었는데, 이번 글에서는 균일한 전기장이 펼쳐진 공간이 아니라 점전하가 만드는 전기장이 펼쳐진 공간을 생각해봅시다.

먼저 점전하가 만드는 전기장이 펼쳐진 공간에, 어떤 전하를 놓고 그 전하가 가지는 전기 퍼텐셜 에너지 차이를 구해봅시다.
다음 그림과 같이 전하량이 $Q$인 점전하는 거리의 제곱에 반비례하는 크기를 가진 전기장을 만듭니다.

어떤 전기장이 펼쳐져 있을 때, 임의의 지점 A에 전하량이 $q$인 양전하를 두고 그 전하를 속력이 변하지 않도록 천천히 B점까지 끌어 올리는데 전기장에 거슬러서 해준 일이 바로 A, B 두 지점 사이에서 전하 $q$의 전기 퍼텐셜 에너지 변화량입니다. 이 때에 끌어주는 경로가 무엇인지에 따라 그 경로에 맞추어 적분을 해주어야 합니다.

전기 퍼텐셜 에너지 차이를 구하기 위해서는 다음의 적분을 수행해야 합니다.

$$ \Delta U_{\rm{E}}  = - \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} q \vec{E} \cdot d\vec{s} $$

A 지점부터 B 지점까지 전하를 끌어주는 데 내가 전기장에 거슬러서 해준 일을 구하는 식입니다.

그림은 $+Q$라는 점전하가 전기장을 만드는 상황에서, A 지점에 $+q$라는 양전하를 놓고 이 양전하를 경로를 따라 B 지점까지 끌어옮기는 모습입니다. 이 때 임의의 위치($+Q$전하의 중심으로부터 떨어진 거리 $r$)를 보았을 때, 끌어당기는 경로의 미소 벡터를 $d\vec{s}$라고 하고, 그 지점 $\vec{r}$에서 $\hat{r}$이라고 표시 되어있는 단위 벡터는, 전기장을 만드는 전하로부터 그 지점까지의 방향을 나타내는 벡터입니다. ($\vec{r}$ 방향 단위 벡터인 것이죠)
(점선으로 표시한 원 부분은, 결론을 말하자면, 퍼텐셜이 동일한 지점을 선으로 연결한 지점입니다)

임의의 지점 $r$에서 점전하 $+Q$가 만드는 전기장은 다음과 같이

$$ \vec{E}(r) = k\frac{Q}{r^2} \hat{r} $$

로 주어집니다. $+q$전하를 끌어주면서 한 일을 구하기 위해, 적분을 하려고 하는데 그 적분 내부의 내적 식을 다시 써보면 다음과 같습니다.

$$ \vec{E} \cdot d\vec{s} = k \frac{Q}{r^2} \hat{r} \cdot d\vec{s} $$

그런데 $ \hat{r} \cdot d\vec{s} $ 라는 내적 식의 의미는, $d\vec{s}$를 $\hat{r}$에 투영하였다는 의미이므로

$$ \hat{r} \cdot d\vec{s} = 1 \cdot ds \cdot \cos(\theta) = dr$$

이라고 생각할 수 있습니다. $d\vec{s}$를 $\hat{r}$에 투영한 것은 $\hat{r}$방향의 미소 길이이므로 $dr$로 쓸 수 있습니다. 따라서 적분 내의 내적 식은

$$ \vec{E} \cdot d\vec{s} = k \frac{Q}{r^2} dr $$

이 됩니다. 간단하게 $r$이라는 스칼라 함수의 적분으로 변했죠.

그래서 두 지점 사이의 전기 퍼텐셜 에너지 차이는

$$ \Delta U_{\rm{E}}= -kQq \int_{r_{\rm{A}}}^{r_{\rm{B}}} \frac{dr}{r^2} = k \left. \frac{Q}{r} \right|_{r_{\rm{A}}}^{r_{\rm{B}}} $$

으로 구할 수 있습니다. 따라서

$$  \Delta U_{\rm{E}} = k Qq \left[ \frac{1}{r_{\rm{B}}} - \frac{1}{r_{\rm{A}}} \right] $$

이 됩니다.

이렇게 얻은 결론이 되게 중요합니다. 두 지점 사이의 전기 퍼텐셜 에너지 차이는 내가 전하를 어떻게 끌어 옮겨주었는지 경로에 상관이 없습니다. 말 그대로 두 지점 A, B가 어디냐만 상관있습니다.

전기 퍼텐셜 에너지 차이를 구했으니, 전기 퍼텐셜 차이를 구하려면 다음 관계식을 이용하면 됩니다.

$$ \Delta U_{\rm{E}} = q \Delta V $$

따라서 전기 퍼텐셜 차이는

$$ \Delta V =  V_{\rm{B}} - V_{\rm{A}} = k Q \left[ \frac{1}{r_{\rm{B}}} - \frac{1}{r_{\rm{A}}} \right] $$

이렇게 됩니다. 그런데 퍼텐셜 또는 퍼텐셜 에너지는 내가 원하는 지점을 기준점으로 하여 0으로 잡을 수 있습니다. 중력 퍼텐셜 에너지에 대해 생각할 때, 물체가 바닥에 놓였을 때의 퍼텐셜 에너지를 0으로 생각하는 것처럼요.

일반적으로 전기 퍼텐셜이나 전기 퍼텐셜 에너지같은 경우는, 아주 먼 곳에서의 퍼텐셜을 0으로 잡습니다.

예를 들어 위의 그림과 같이 점전하로부터 거리 $r$만큼 떨어진 곳에서의 퍼텐셜 $V(r)$을 말하고자 한다는 것은, 이 전기장이 펼쳐져있는 곳에, 아주아주 먼 곳에서부터 또다른 전하를 끌어와서 원래 있던 점전하로부터 거리 $r$까지 되는 거리까지 끌어왔을 때의 퍼텐셜 차이를 말합니다. 따라서

$$ V(r) = V(r) - V(r=\infty) = k Q \left[ \frac{1}{r} - \frac{1}{\infty} \right] = k Q \frac{1}{r} $$

가 됩니다. (A에서 B까지 끌어올 때의 퍼텐셜 차이는, B에서의 퍼텐셜 빼기 A에서의 퍼텐셜 입니다. 순서를 헷갈리지 마세요!)

만약 음전하가 만드는 전기장이 있을 때, 그 음전하로부터 $r$만큼 떨어진 거리에서의 전기 퍼텐셜은?

$$ V(r) = - k Q \frac{1}{r} $$

이 됩니다. 위에서 구한 식에서 다른 건 다를 게 없고, 전하량 $+Q$가 $-Q$가 된 것 뿐입니다. 물론, 음전하가 만드는 퍼텐셜도 무한히 먼 곳에서는 0입니다.

자연은 퍼텐셜 에너지가 낮아지는 곳으로 자연스럽게 움직이는 습성이 있습니다. 정말 그런지 한 번 살펴봅시다.
음전하가 전기장을 만드는 경우에서, 임의의 양전하를 어떤 위치 $r=100$만큼 음전하로부터 떨어진 곳에 가만히 놓는다고 하면 점점 음전하로 끌려갈 것입니다. 점점 음전하로 끌려간 곳의 도착 지점 임의의 위치를 $r=10$이라고 합시다.

이 때 가만히 둔 양전하가 자연스럽게 움직이는 방향이 바로 (양전하의)퍼텐셜 에너지가 낮아지는 방향입니다. 따라서 먼 곳에서의 퍼텐셜 에너지를 구해보고, 가까운 곳에서의 퍼텐셜 에너지를 구해보고 정말 먼곳에서 가까운곳으로 오면서 양전하가 가지는 퍼텐셜 에너지가 낮아졌는지를 봅시다.

양전하가 $r=100$인 위치에서 가지는 퍼텐셜 에너지는 $U(r=100)=- k Q q \frac{1}{100}$ 입니다. 양전하가 $r=10$인 위치에서 가지는 퍼텐셜 에너지는 $U(r=10)=-k Q q \frac{1}{10}$ 입니다.

$$ -\frac{1}{100} > -\frac{1}{10} $$

즉 가까운 곳에서의 퍼텐셜 에너지가 더 작은 값입니다! 둘 다 음수 값이니까 잘 생각해보면 알 수 있어요.
즉 자연은 퍼텐셜 에너지가 낮아지는 방향으로 움직인다는 것이 잘 맞네요. 퍼텐셜과 퍼텐셜 에너지를 잘 정의했다는 것을 알 수 있습니다.
(방금 한 이야기를, 전기장을 만드는 전하의 부호를 바꾸어서도 생각해보고, 움직이는 전하의 부호를 바꾸어서도 생각해본다면 도움이 많이 됩니다)

지금까지 하나의 점전하가 전기 퍼텐셜과 전기 퍼텐셜 에너지에 대해 이야기했습니다. 그렇다면 여러 개의 점전하가 만드는 전기 퍼텐셜과 퍼텐셜 에너지는 어떻게 생각해야 할까요?

* 여러 전하가 임의의 위치에 만드는 전기 퍼텐셜

임의의 위치에 여러 전하가 만드는 전기 퍼텐셜은, 각각의 전하가 그 위치에 만드는 전기 퍼텐셜을 계산한 다음 그냥 숫자를 더해주면 됩니다. 전기 퍼텐셜은 벡터가 아니라 스칼라이므로, 그냥 더해주면 됩니다! 방향을 고려할 필요가 없습니다. 따라서

$$ V = k \sum_i \frac{Q_i}{r_i} $$

로 표현할 수 있습니다. 만약 세 개의 전하 $Q_1, Q_2, Q_3$이 모두 각각 원점으로부터 $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3$의 위치에 있고, 원점으로부터 $\vec{r}$의 위치에서의 알짜 전기 퍼텐셜을 구하는 상황이라고 한다면 $i=1, 2, 3$이렇게 더해주어야 하므로

$$ V(r) = k \left[ \frac{Q_1}{|\vec{r}-\vec{r}_1|} + \frac{Q_2}{|\vec{r}-\vec{r}_2|} + \frac{Q_3}{|\vec{r}-\vec{r}_3|}\right] $$

으로 계산할 수 있습니다.