설군의연구소

안녕하세요, 설군입니다. 이전 글에서는 부피가 없는 점전하에 대해서 가우스 법칙을 적용해봤습니다. 이번에는 반지름이 $a$인 공 모양에 전하들이 균일하게 콕콕콕 박혀있고, 속이 완전히 채워진 그런 경우를 생각해봅시다. 위와 같이 점선으로 가우스 곡면을 공 모양으로 잡습니다. 가우스 곡면의 반지름을 $r$로 잡았으므로, 내가 구하고자 하는 건, 속이 꽉 찬 공 모양 전하의 중심으로부터 $r$거리에 떨어진 곳에서 전하가 만드는 전기장 입니다. $$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$ 이 되고, 따라서 거리 $r$에 전하가 만드는 전기장의 세기는 $$ E = \frac{1}{4\..

안녕하세요, 설군입니다. 어떤 공간에 양전하가 있다면 이 전하는 전기장을 만듭니다. 전하를 중심으로 전기장이 펼쳐져 있는 것을 그림으로 그릴 때 화살표로 주로 그리곤 합니다. 입체적으로 생각하면 우리가 살고 있는 공간은 3차원 이므로, 3차원 모든 방향으로 전기장이 화살표처럼 뻗어나갈거예요. 전부 다 그려보면 마치 구형으로 뻗어나가겠죠? 구형으로 뻗어나간다는 사실을 알고 있으므로, 이 전하를 둘러싸는 가우스 곡면(Gaussian surface)을 공 모양으로 잡아봅시다. 가우스 곡면에서 중요한 점은, 가우스 곡면은 그냥 색종이와 같은 면이 아니라, 어떤것을 둘러 싸서 막혀있는 면을 말합니다. 이 때 둘러싸기 위해서는 휘어져있을 수도 있으므로 곡면이라고 하는 거예요. (휘어지지 않고 정육면체 상자처럼 가우..

안녕하세요, 설군입니다. 비오-사바르의 법칙은 어떤 전류가 만드는 자기장을 구하는 방법을 알려줍니다. $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2} $$ 길이가 $dl$로 아주 짧은 막대가, 전류 $I$가 흐르고 그 전류의 방향이 $d\vec{l}$일 때, 그 막대로부터 내가 원하는 지점까지의 방향 벡터가 $\hat{r}$이고 그 거리가 $r$일 때, 그 짧은 막대가 만드는 자기장 $d\vec{B}$를 구하는 공식입니다. 그렇다면 이 짧은 막대들이 모여 도선 하나를 형성한다고 할 때, 그 도선이 만드는 자기장은 짧은 막대들을 모조리 더해주면 됩니다. 따라서 적분식으로 바꾸면 $$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\..

안녕하세요, 설군입니다. 직선상에 전하가 두 개 있을 때 과연 어느 위치에 전하를 놓아야 전기장이 0이 되는 지점을 찾을 수 있는지 알아봅시다. 임의의 지점에서의 전기장을 알고싶으면, 내가 알고싶어 하는 그 지점에 전하량이 $+1\ \rm{[C]}$인 전하를 놓고, 그 전하가 다른 전하들로부터 받는 전기력을 계산해주면 그것이 바로 전기장입니다. 그럼 과연 어느 지점에 전하량이 $+1\ \rm{[C]}$인 전하를 놓아야, $+1\ \rm{[C]}$의 전하가 받는 전기력이 0인지를 생각해봅시다. 그걸 생각하기 위해서는 $+1\ \rm{[C]}$의 전하가 받는 전기력의 방향을 먼저 생각해줍니다. 이렇게 영역을 세 가지로 나눌 수 있어요, 각각 ㄱ, ㄴ, ㄷ영역 이라고 하겠습니다. 각 영역에 차례대로 $+1\ ..

안녕하세요, 설군입니다. 이번에는 세 개의 점전하가 있을 때 한 점전하가 받는 전기력을 계산해봅시다. 점전하 C에 작용하는 알짜 전기력의 크기와 방향을 찾는게 목적이라고 한다면, 다음과 같이 각각의 전하가 C에 작용하는 전기력을 모조리 구해줘야 합니다. A가 C를 밀어내는 전기력, B가 C를 당기는 전기력을 각각 구해야 하죠. 전하의 종류가 양전하인지 음전하인지를 알고 있으면, 두 전하 사이에 작용하는 전기력의 방향은 쉽게 알 수 있습니다. 그렇다면 전기력의 크기만 쿨롱의 법칙을 이용해서 계산해주면 됩니다. $$ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} $$ 따라서 A가 C에게 작용하는 전기력의 크기는 $$ F = 9 \times 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 5}{3^2} = 2.5..

안녕하세요, 설군입니다. 이번 글에서는 세 개의 점전하가 놓여있는 경우에 점전하에 작용하는 전기력을 계산해보는 것, 그리고 $xy$ 평면에 점전하가 놓여있을 때 점전하에 작용하는 전기력을 계산해보는 것을 해보겠습니다. * 예제 1 그림과 같이 전하 세 개가 놓여있을 때, 전하 $\rm{B}$가 받는 알짜 전기력을 구해봅시다. 이걸 구하기 위해서는 전하 $\rm{A}$가 전하 $\rm{B}$에게 작용하는 전기력을 구하고, 전하 $\rm{C}$가 전하 $\rm{B}$에게 작용하는 전기력을 구하면 됩니다. 먼저 힘의 방향을 생각해봅시다. 각각 전하의 부호가 주어졌으므로 그림으로 표시한 것처럼 힘의 방향을 바로 구할 수 있습니다. 색깔로 힘의 방향을 표시해놓았는데, 파란색은 전하 $\rm{A}$가 전하 $\rm..

안녕하세요, 설군입니다. 전하를 띤 입자 사이에 작용하는 힘을 계산하기 위해서는 쿨롱(Coulomb)의 법칙을 이용합니다. 전하를 띤 두 입자 사이에 작용하는 힘의 방향과 크기가 어떻게 결정되는지를 실험한 과학자 쿨롱의 이름을 땄습니다. 전하가 $q_1, q_2$인 두 입자 사이에 작용하는 힘의 크기와 방향은 다음과 같이 쿨롱의 법칙으로 결정됩니다. $$ \vec{F} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r} $$ 전하를 띤 두 물체 사이에 작용하는 전기력의 세기는 두 물체의 전하량의 곱에 비례하고, 두 물체 사이 떨어진 거리의 제곱에 반비례한다는 특징이 있습니다. 이 글에서는 힘의 특징에 대해 이야기하기보다는, 힘을 계산하는 방법에 대해..

안녕하세요, 설군입니다. 일반 물리학에서 회전 운동을 배우기 전까지는 도르래의 회전 운동을 무시했었습니다. 그러나 실제로는 도르래가 크기가 있고 질량을 가지고 있으므로 도르래의 회전 자체도 고려해주어야 합니다. 도르래는 원통 모양으로 생각되곤 합니다. 따라서 도르래의 관성 모멘트는 원통, 원판의 관성 모멘트와 같습니다. 회전 운동 방정식(돌림힘 방정식, 토크 방정식)은 다음과 같이 세울 수 있습니다. $$ \sum \tau = I \alpha $$ 이 때, 좌변은 도르래가 받는 모든 토크를 벡터적으로 더한 것, 즉 알짜 토크를 말합니다. 다음과 같은 상황에서 도르래가 받는 알짜 토크를 생각해봅시다. 도르래의 관성 모멘트를 생각하여 토크 방정식을 세운다는 말은, 도르래가 회전하는 것을 고려한다는 의미입니다..

안녕하세요, 설군입니다. 이전 글에서, 원통을 잡아딩기며 굴릴 때의 마찰력의 방향에 대해서 이야기 한 적이 있습니다. (https://seolgoons.tistory.com/70) 이 경우와는 다르게, 빗면에서 원통이 중력만을 받으며 굴러가는 상황에 대해서 생각해봅시다. 이 상황에서는 마찰력의 방향이 달라요. 이와 같이 질량이 \(M\), 반지름이 \(R\)인 원통이 빗면에서 *미끄러지지 않고 구르는* 경우를 생각해보면, 다음과 같이 물체에 작용하는 힘 그림을 그려볼 수 있습니다. 빗면 위의 물체가 받는 힘은, 중력의 빗면 방향 성분(\(x\) 방향 성분)과, 그것에 수직인 방향의 수직항력 \(N\)을 받고, 그리고 그것과 상쇄되는 중력의 성분 \(Mg \cos(\theta\)\)를 받을 거예요. 물론 ..

안녕하세요, 설군입니다. 실패 문제라는 건 다음과 같은 상황을 말합니다. 평면에서 실이 감긴 원통을 잡아당기는 상황입니다. 이 상황에는 실이 풀리면서 회전하며 평지를 굴러갈거예요. 이걸 옆에서 본 모습은 다음과 같이 그릴 수 있습니다. 물체가 미끄러지지 않는 구름 조건을 만족하며 운동하고 있다고 합시다. 그 말은 다음 두 식이 성립한다는 의미입니다. $$ v=R\omega, \quad a = R\alpha $$ 마찰력이 작용하지 않는 상황이라고 생각해볼까요? 그렇다면 직선 운동 방정식과 회전 운동 방정식을 각각 세울 때 다음과 같이 세울 수 있습니다. 먼저 직선 운동 방정식을 세우기 위해서 알짜힘을 생각해보면, 물체가 운동하는 방향으로 힘 \(F\)만 받고 있으므로 식은 $$ F=Ma $$ 로 세워집니다..