실패 문제에서 마찰력의 방향

반응형

안녕하세요, 설군입니다.

실패 문제라는 건 다음과 같은 상황을 말합니다.

평면에서 실이 감긴 원통을 잡아당기는 상황입니다. 이 상황에는 실이 풀리면서 회전하며 평지를 굴러갈거예요. 이걸 옆에서 본 모습은 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

물체가 미끄러지지 않는 구름 조건을 만족하며 운동하고 있다고 합시다. 그 말은 다음 두 식이 성립한다는 의미입니다.

$$ v=R\omega, \quad a = R\alpha $$

마찰력이 작용하지 않는 상황이라고 생각해볼까요? 그렇다면 직선 운동 방정식과 회전 운동 방정식을 각각 세울 때 다음과 같이 세울 수 있습니다.

먼저 직선 운동 방정식을 세우기 위해서 알짜힘을 생각해보면, 물체가 운동하는 방향으로 힘 \(F\)만 받고 있으므로 식은

$$ F=Ma $$

로 세워집니다.

다음으로, 회전 운동 방정식을 세워보면 다음과 같이 세울 수 있습니다.

$$ \tau = RF = I \alpha = \frac{1}{2} MR^2 \cdot \left( \frac{a}{R} \right) = \frac{1}{2} MRa $$

따라서 \( F = \frac{1}{2} Ma \)라는 결과가 나옵니다. 어...?
직선 운동 방정식에서 구한 것과 모순적인 결과가 나옵니다. 그 이유는 마찰력이 작용하지 않는 상황이라고 가정하였기 때문입니다. 구름 조건을 만족하기 위해서는 마찰력에 의한 토크가 같이 작용해주어야 합니다. 따라서 마찰력을 넣어 계산해주어야 두 운동 방정식이 오류 없이 맞게됩니다.

우리는 그 마찰력의 방향을 지금 바로 알 수 없습니다. 일단은 왼쪽 방향이라고 가정해 놓고 식을 세워 풀어봅시다. 제가 왼쪽 방향이라고 가정한 이유는 다름이 아니라, 물체가 운동하는 방향과 반대 방향으로 마찰력이 작용할 것이라고 생각하기 때문입니다. (그러나 실은 틀립니다)

그렇다면 직선 운동 방정식은

$$ \sum F = Ma = F-f = Ma $$

로 세워집니다. 이 때 오른쪽 방향을 \(+x\)방향이라고 놓았습니다.

다음으로 회전 운동 방정식을 세워보면,

$$ \tau = R(F+f) = \frac{1}{2} MRa $$

로 세워집니다. 이 때 물체를 위의 그림처럼 바라보았을 때 시계 방향으로 회전하는 토크를 \((+)\)방향 이라고 놓았습니다. 잡아 당기는 힘 \(F\)와, 내가 가정한 마찰력 \(f\)의 방향이, 토크를 같은 방향으로 만듭니다. 이렇게 얻은 두 식을 연립하여, 마찰력 \(f\)를 \(F\)로 나타내어 본다면

$$ f = -\frac{1}{4} Ma = - \frac{1}{3} F$$

로 나옵니다. 여기서 마찰력의 부호에 \((-)\)가 붙은 것은, 우리가 처음 가정한 마찰력의 방향이 잘못되었다는 뜻입니다. 따라서 마찰력의 방향은 왼쪽이 아니라 오른쪽이라는 것입니다.

마찰력은 물체가 운동하는 것의 반대 방향으로 작용할 거라고 생각했지만, 다릅니다. 그 이유를 좀 더 생각해봅시다.
원통과 바닥면이 만나는 지점 근처에 있는 원통의 한 점은, 항상 정지해있는 것으로 생각하면 됩니다.
(그 이유는 다른 게시글에서 작성한 후, 여기에 주소를 남겨드릴테니 읽어보세요)

따라서 원통과 바닥면이 만나는 점은 항상 정지 마찰력이 작용한다고 생각해야 합니다.
정지 마찰력은 외력이 가해지는 방향과 반대 방향으로 작용합니다.

원통을 \(F\)의 힘으로 끌 때 원통은 명백히 시계 방향으로 회전하며 굴러갑니다.
따라서 원통과 바닥면이 만나는 지점에서, 원통을 이루는 한 점을 생각했을 때 그 점은 왼쪽으로 외력을 받는다고 생각될 거예요. (토크가 그쪽 방향으로 생기고 있으니까)
그걸 기준으로 정지 마찰력의 방향을 정해야 합니다.
따라서 그 외력과 반대 방향으로 마찰력 \(f\)가 작용하는 것이죠.

* 중요 *
정확하지는 않은데 제가 지금까지 정리한 내용은
외력이 작용해서 토크를 만드냐 안 만드냐에 따라 정지 마찰력이라는 개념을 사용하고 안 하고가 결정되는 것 같아요.
외력이 작용하면 정지 마찰력 개념을 이용해서 마찰력의 방향을 정해도 돼요.
이 문제는 외력 \(F\)가 물체를 회전시켜 주기 때문에 마찰력의 방향이 저렇게 될 수 있는거예요.

그런데 만약 빗면에서 물체가 정지한 상태에서 중력만을 받으며 굴러가는 상황이라면 그 때에는 중력은 물체의 질량 중심에만 작용한다고 생각하면 토크를 만들지 못하므로, 물체를 회전시켜 주는 토크를 발생하는 게 마찰력입니다. 따라서 그 때는 마찰력이 물체를 회전시키는 토크를 발생할 수 있도록 방향이 정해집니다. 즉 빗면을 내려가는 방향으로 마찰력이 작용하는 게 아니라, 그 반대방향으로 (즉 물체의 운동 방향과 반대 방향으로)마찰력이 작용합니다.

그러나 원통이 마찰이 없이 미끄러져도 괜찮다고 가정하면, 미끄러지는 구름 조건 식

$$ v=R\omega, \quad a = R\alpha $$

이 만족하지 않습니다. 따라서 각가속도 \(\alpha\)를 쉽게 가속도 \(a\)로 정리할 수가 없으므로 운동 방정식 두 개를 연립하여 풀기는 쉽지 않습니다.