쿨롱의 법칙을 이용한 전기력의 계산 (2)

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안녕하세요, 설군입니다.

이번 글에서는 세 개의 점전하가 놓여있는 경우에 점전하에 작용하는 전기력을 계산해보는 것, 그리고 $xy$ 평면에 점전하가 놓여있을 때 점전하에 작용하는 전기력을 계산해보는 것을 해보겠습니다.

* 예제 1

그림과 같이 전하 세 개가 놓여있을 때, 전하 $\rm{B}$가 받는 알짜 전기력을 구해봅시다. 이걸 구하기 위해서는 전하 $\rm{A}$가 전하 $\rm{B}$에게 작용하는 전기력을 구하고, 전하 $\rm{C}$가 전하 $\rm{B}$에게 작용하는 전기력을 구하면 됩니다.
먼저 힘의 방향을 생각해봅시다. 각각 전하의 부호가 주어졌으므로 그림으로 표시한 것처럼 힘의 방향을 바로 구할 수 있습니다. 색깔로 힘의 방향을 표시해놓았는데, 파란색은 전하 $\rm{A}$가 전하 $\rm{B}$를 당기는 왼쪽으로 당기는 전기력 방향이고, 빨간색은 전하 $\rm{C}$가 전하 $\rm{B}$를 왼쪽으로 미는 전기력 방향입니다.

그렇다면 이번에는 힘의 크기를 구해봅시다. 먼저 전하 $\rm{A}$와 전하 $\rm{B}$ 사이에 작용하는 힘의 크기는? 쿨롱의 법칙을 이용하여 대입해보면,

$$ F_{\rm{AB}} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9\times 10^9 \cdot \frac{5 \cdot |-2|}{2^2} = 2.25 \times 10^{10}\ \rm{N} $$

입니다. 이번에는 전하 $\rm{C}$가 전하 $\rm{B}$에게 작용하는 힘의 크기를 구해보면?

$$ F_{\rm{CB}} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9\times 10^9 \cdot \frac{|-2| \cdot |-3|}{2.5^2} = 8.64 \times 10^{9}\ \rm{N} $$

입니다. 이제 두 힘을 구했고, 두 힘의 방향이 모두 왼쪽 방향으로 같은 방향인것도 알았습니다. 따라서 전하 $\rm{B}$가 받는 알짜힘의 크기와 방향은?

$$ \vec{F} = (- \hat{x} )(2.25 \times 10^{10} + 8.64 \times 10^{9})\ = -3.11 \times 10^{10} \ \hat{x} \ \rm{[N]}$$

입니다.

* 예제 2

이번에는 평면상에 놓여있는 경우를 생각해봅시다.

이런 상황에서 전기력의 방향은 $x$축과도, $y$축과도 평행한 방향이 아니라, 대각선 방향이 될거예요. 그것을 기억하고 있는 채로 먼저 힘의 크기부터 구해봅시다. 힘의 크기는 두 전하 사이의 거리만 알면 쉽게 구할수 있을것 같아요. 두 점전하 사이의 거리는 그냥 직각삼각형을 이루는 빗면의 거리이므로, 피타고라스 정리를 이용하여 구해보면

$$ r^2 = 3^2 + 2^2 = 13\ \rm{[m^2]}$$

입니다. 그렇다면 힘의 크기는

$$ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9\times 10^9 \cdot \frac{5 \cdot |-2|}{13} = 6.92\times 10^9 \ \rm{[N]}$$

입니다. 힘의 방향을 표현하는 방법은 여러 가지가 있는데, 보통은 $x$축과 이루는 각도가 얼마만큼인지를 나타냅니다. 예를 들어 $\rm{A}$가 받는 힘의 방향을 구하라고 한다면?

이 화살표가 $x$축과 이루는 각도를 구해야 하는데, 그 각도는 보통 이렇게 정의됩니다. 위와 같이 힘의 방향을 화살표로 표시한 것을 그대로 원점으로 옮겨 오면 다음과 같이 될 거예요.

이 때의 $x$축으로부터 그 벡터까지의 각도를 말합니다. $x$축으로부터 각도는 보통 $x$축에서 출발하는 각도를 $0^\circ$로 시작해서 반시계 방향으로 가면서 각도를 측정하는데, 이 문제의 상황에서는 시계방향으로 가는 게 더 가까우니까, 마이너스 부호를 붙여서 각도를 표시해도 괜찮습니다.

저 각도는 간단하게 삼각형을 그려보면 계산할 수 있습니다. 삼각형으로 쉽게 생각할 수 있는 이유는, 힘이 작용하는 선상이 바로 $\rm{A}, \rm{B}$를 잇는 선상, 즉 삼각형의 빗변상에 있기 때문에, 각도를 삼각형으로 그려서 생각해도 힘의 방향을 똑같이 찾을수 있기 때문입니다.

이렇게 삼각형을 그려 보면, 엇각이기 때문에 삼각형의 한 각도와 각도값이 같다는걸 알 수 있어요. 저 각도는 $ \tan(\theta) = \frac{3}{2}$를 만족하므로, 탄젠트의 역함수를 이용해서,

$$\tan^{-1} \left(\frac{3}{2}\right) = \theta = 0.98\ \rm{[rad]} = 56^\circ$$

라고 구할 수 있습니다. 이렇게 각도로 표시하기도 하고, 또는 방향벡터로 표시하기도 합니다.

방향벡터로 힘의 방향을 표시하기 위해서는 먼저 방향벡터를 찾아야 하는데요, 방향벡터는 다음과 같이 구해주면 됩니다. 우리가 알고자 하는 힘의 방향 벡터는

이 벡터랑 똑같은데, 이 벡터는 $x$축 방향 성분이 $2$이고, $y$축 방향 성분이 $-3$인 벡터라서, $ \vec{n} = \langle 2, -3\rangle$으로 나타낼 수 있겠죠? 그런데 이 벡터는 크기가 $\sqrt{2^2 + 3^2}$인 벡터라서, 방향벡터가 아닙니다. 왜냐하면 방향벡터는 크기가 $1$이어야 하기 때문이죠. 따라서 이 벡터의 크기를 $1$로 만들어주기 위해서, 벡터의 전체 크기로 나누어줍니다.

$$ \hat{n} = \frac{1}{\sqrt{13}} \langle 2, -3\rangle$$

그럼 이게 바로 방향벡터입니다! 이 벡터의 크기는 정확히 1입니다.

따라서 아까 구했던 전기력의 크기는

$$ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9\times 10^9 \cdot \frac{5 \cdot |-2|}{13} = 6.92\times 10^9 \ \rm{[N]}$$

이었으니까, 이걸 벡터로 표현하기 위해 간단하게 위에서 구한 방향벡터만 곱해주면 되는데, 따라서

$$ \vec{F} = 6.92\times 10^9 \hat{n} \ \rm{[N]} = 6.92\times 10^9 \frac{1}{\sqrt{13}} \langle 2, -3\rangle \ \rm{[N]} = \langle 3.84 \times 10^9 , -5.76 \times 10^9 \rangle \ \rm{[N]}$$

이렇게 표현해도 됩니다. 저는 순서쌍처럼 벡터를 표현했지만, 원한다면

$$ \vec{F} = 3.84 \times 10^9\ \hat{x} - 5.76 \times 10^9\ \hat{y} \ \rm{[N]} $$

등의 방식으로 표현해도 상관 없습니다.