설군의연구소

안녕하세요, 설군입니다.위의 그림과 같이, 물체가 수평 방향으로 발사되었는데, 도착 지점이 경사면인 상황을 생각해봅시다.이 경우 비탈면의 모양은 딱히 중요하지 않고, 중요한 건 물체의 위치와 물체의 도착점을 두 점으로 하는 직각삼각형입니다.다시말해서,(1) 물체의 위치가 직각삼각형의 한 점(2) 물체의 위치로부터 도착점까지의 가로, 세로 거리 ($X$, $Y$) 이 각각 직각 변 중 하나(3) 물체의 도착점이 직각삼각형의 한 점이렇게 이루어지는 직각 삼각형을 들여다봅시다.이렇게 그릴 수 있습니다.만약 이 물체의 초기 속도가 $x$ 방향으로 $v_0$ 로 주어져있고,지면과 초기 속도의 각도 $\phi$ 가 주어져 있는 상황에서, 물체가 어디에 착지할 지, 그 거리 $d$ 를 구해봅시다. 여기서 문제를 풀기..

안녕하세요, 설군입니다.위의 그림과 같이, 높이 $H$ 인 건물 위에서 물체가 $\vec{v}_i$ 의 초기 속도 벡터, 그리고 $\theta$ 의 각도로 발사된 상황을 생각해봅시다. 물체가 처음 있던 위치를 기준으로 오른쪽으로 $+x$ 축을 잡고, 물체가 처음 있던 위치를 기준으로 위쪽으로 $+y$ 축을 잡았고 이 축은 문제를 다 풀때까지 변하지 않습니다. 몇 가지 물리량들을 구해보기 위해서 위의 그림과 같이 거리를 표시하였습니다. 물체가 발사된 이후 최대 높이까지 도달하는 데, 그 높이를 원점을 기준으로 $h$ 라고 표시하였습니다. 그리고 그 높이까지의 가로 거리를 $r$ 이라고 표시하였습니다. 그리고 포물선 운동의 성질에 의하여, $r$ 거리에서부터 한 번 더 $r$ 거리까지 도달하게 되면, 높이가..

안녕하세요, 설군입니다.그림과 같이 어떤 입자가 비탈면에서 각도 $20^\circ$ 로 출발하여 발사되었습니다. 이 때의 초기 속력은 $11.0 \ \mathrm{m/s}$ 입니다. (1) 포물선 운동에서 물체가 도달하는 최대 높이 $h$ 구하기포물선 운동하는 물체는, 최대 높이에서 $y$ 방향의 순간 속력이 0이 됩니다.포물선 운동하는 물체에 대해서 $y$ 방향으로만 고려해서 과연 언제 순간 속력이 0이 되는지 그 시간을 구해봅시다.$+y$ 방향을 윗방향 이라고 놓고, 물체의 속도를 $y$ 방향에 대해 분석했을 때 과연 물체의 $y$ 방향 속도가 언제 0이 되는지를 위와 같이 구할 수 있습니다.물체의 초기 $y$ 방향 속력 $v_{y0}$ 는, 처음 발사된 물체의 각도를 이용해 초기속력 $v_0$ 와 ..

안녕하세요, 설군입니다. 입자가 $xy$ 평면상에서 움직이고 있습니다. 시간 $t=0$ 일 때 입자가 원점에서 출발합니다. 원점에서 출발할 때 초기 속도의 $x$ 성분은 $20 \ \mathrm{m/s}$ 이고, 초기 속도의 $y$ 성분은 $-15 \ \mathrm{m/s}$ 입니다. 입자가 $x$ 방향으로 가속도 $a_x = 4.0 \ \mathrm{m/s^2}$ 의 가속도를 받고 있습니다. (1) 특정 시간에서의 입자의 속도이 때 특정 시간 $t$ 에서의 입자의 속도를 식으로 나타내봅시다.입자의 속도를 식으로 나타내라고 하였으므로, $v_x$, $v_y$ 속도의 모든 성분들을 각각 나타낸 후 벡터의 덧셈으로 표현해주면 됩니다. 먼저 $x$ 방향에 대한 운동만, 1차원 운동이라고 생각하고 분석할 수 있..

안녕하세요, 설군입니다. 다음 그림과 같이 어떤 입자가 $x$ 축 상에서 가속 운동을 하고 있습니다.여기서 가속도의 단위는 $ \mathrm{m/s^2}$ 으로, 1 초에 $1 \ \mathrm{m/s}$ 의 속력 변화를 만드는 만큼이라는 뜻입니다.물체가 처음에 정지해있었다고 생각합니다. 위에 주어진 가속도-시간 그래프를 해석해봅시다.물체가 처음에 정지해 있었으므로 속력은 0이었고, 0 초부터 10 초 까지는 2 만큼의 크기로 가속도가 유지되고 있습니다.물체가 $x$ 축 상에서 움직이고, $+x$ 축 방향을 물체가 앞으로 진행하는 방향이라고 생각하면, 0 초부터 10 초까지는 물체는 앞으로 진행하게 될 테고, 그 물체의 속력은 일정하게 증가하게 될 것입니다.(가속도가 일정하므로 물체의 속력 변화량이 일정..

안녕하세요, 설군입니다. 어떤 입자가 $x$ 축 상에서 움직이고 있을 때, 물체의 위치-시간 그래프가 주어졌습니다. 즉 시간에 따라서 물체의 위치가 $x$ 축 상의 어떤 위치에 있는지를 표시한 것입니다. 그래프가 포물선 모양이라고 해서 물체의 운동 경로가 포물선 모양이라는 게 아닙니다!(a) 시간이 1.5 초 일 때부터 4 초 일 때까지의 물체의 평균 속도를 구해봅시다.평균 속도라는 물리량은, 벡터량입니다. 평균 속도의 정의는, 물체의 변위 나누기 걸린 시간입니다.$$ \text{(평균 속도)} = \frac{\text{(변위)}}{\text{(걸린 시간)}} $$평균 속도라는 물리량이 벡터량이라는 의미는, 주어진 정의에서 변위라는 물리량도 벡터량이라는 의미입니다.변위라는 것은 물체의 나중 위치 빼기 처..

안녕하세요, 설군입니다. 다음 그림과 같이 어떤 입자가 변하는 힘 $F_x$ 을 받으며 위치가 변하고 있습니다. 이 경우에 입자에 가해진 힘이 한 일을 구해봅시다.입자가 받는 힘 vs 입자의 위치 그래프에서, 특정 위치부터 특정 위치까지 입자에 가해진 힘이 한 일은특정 위치부터 특정 위치까지의 그래프의 면적과 일치합니다. 그 이유는 일을 구하는 식이$$ W = \int_{x=a}^{x=b} \vec{F} \cdot d \vec{x} $$로 표현되기 때문입니다. 어떤 위치 $x=a$ 부터 어떤 위치 $x=b$ 까지, 입자에 가해진 힘 $\vec{F}$ 가 한 일은, 위와같이 적분식으로 주어진다는 의미입니다. 삼차원 공간상에서의 적분은 어렵지만, 이 문제의 경우에는 입자가 $x$ 축 선 상에서만 움직이고, ..

안녕하세요, 설군입니다. 구면 좌표계에서 적분을 할 때, 구면 좌표계에서의 부피 요소를 기억해내야 합니다. 다음 그림을 기억하면 쉽게 공식을 기억해낼 수 있습니다. 구면 좌표계에서는 z축으로부터 임의의 점까지의 각도를 $\theta$ 로 나타냅니다. 그리고 x축으로부터 임의의 점까지의 xy 평면 상에서의 각도를 $\phi$ 로 나타냅니다. 그리고 원점으로부터 임의의 점까지의 직선 거리를 $r$ 로 나타냅니다.그래서 한 점을 나타내는 좌표는 $r$, $\theta$, $\phi$ 로 결정됩니다. 그 점을 그림상에서 노란색으로 표시하였습니다. 이제 임의의 한 점에서, 각 변수들을 약간만큼 증가시켜서 각각 $\Delta r$ 만큼 길이를 증가시키고, $\Delta \theta$ 만큼 z축으로부터의 각도를 살짝..

안녕하세요, 설군입니다. 위 그림과 같이 자기장이 화면을 뚫고 들어가는 방향으로 $\vec{B}_{\mathrm{in}}$ 으로 균일하게 펼쳐져 있는 공간이 있습니다. 이 공간의 가로 길이는 총 $3w$ 입니다. 이 공간에, 왼쪽에서 출발해서 오른쪽으로 속도 $\vec{v}$ 로 일정하게 움직이는 ㅁ 모양의 도선이 있습니다. 이 고리 도선의 세로 길이는 $l$, 가로 길이는 $w$ 라고 하겠습니다. 고리 도선의 오른쪽 부분이 자기장 영역에 닿은지점을 그림과 같이 $x=0$ 으로 출발점으로 잡겠습니다. 그리고 $x$ 가 증가함에 따라 고리 도선을 통과하는 자기 플럭스가 어떻게 되는지를 생각해보면 다음과 같습니다. 자기 플럭스 $\Phi_{\mathrm{B}}$ 라는 물리량은 결국 자기장과 면적의 곱으로 주..

안녕하세요, 설군입니다. 다음과 같이 평평하고, 지면으로부터의 각도가 $\theta$ 인 빗면에서 물체가 받는 힘을 모조리 분석해봅시다. 물체가 받는 중력은 아래 방향으로 $mg$ 입니다. 그리고 빗면과 수직한 방향으로 수직항력 $N$ 을 받습니다. 이 수직항력을 $x$, $y$ 방향으로 각각 분해하기 위해 빗면 각도 $\theta$ 를 요리조리 잘 분석하여 각도를 표시해봅니다. 잘 표시해보면 이렇게 닮은꼴 삼각형을 찾을 수 있습니다. 물체가 받는 수직항력의 $x$ 성분은 $N_x$ 로 표시하였고, sine 이 곱해진 값이 됩니다. 물체가 받는 수직항력의 $y$ 성분은 $N_y$ 로 표시하여, cosine 이 곱해진 값이 됩니다. 따라서, 빗면의 각도가 $\theta$ 인 평평한 빗면에 물체가 놓여있을 ..