점전하에 의한 플럭스 (Flux Due to a Point Charge)

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안녕하세요, 설군입니다.

어떤 공간에 양전하가 있다면 이 전하는 전기장을 만듭니다.

전하를 중심으로 전기장이 펼쳐져 있는 것을 그림으로 그릴 때 화살표로 주로 그리곤 합니다.
입체적으로 생각하면 우리가 살고 있는 공간은 3차원 이므로, 3차원 모든 방향으로 전기장이 화살표처럼 뻗어나갈거예요.
전부 다 그려보면 마치 구형으로 뻗어나가겠죠?

구형으로 뻗어나간다는 사실을 알고 있으므로, 이 전하를 둘러싸는 가우스 곡면(Gaussian surface)을 공 모양으로 잡아봅시다.
가우스 곡면에서 중요한 점은, 가우스 곡면은 그냥 색종이와 같은 면이 아니라, 어떤것을 둘러 싸서 막혀있는 면을 말합니다. 이 때 둘러싸기 위해서는 휘어져있을 수도 있으므로 곡면이라고 하는 거예요. (휘어지지 않고 정육면체 상자처럼 가우스 곡면을 잡을 경우도 있어요)

그럼 이렇게, 마치 풍선처럼 둘러쌀 수 있습니다. 화살표를 포함 시켜서 둘러 싸느냐, 아니냐는 상관 없어요.
우리가 그림이라서 화살표를 저렇게 그린 것 뿐이지, 양전하는 끝없이 무한한 범위까지 전기장을 만듭니다.

공 모양 전하가 만드는 전기장의 화살들은 이 풍선을 빠져나오는 방향으로 엄청나게 많을거예요.
어떤 면적에 얼마만큼의 화살이 통과하고 있느냐를 이야기하기 위해 플럭스(Flux) 라는 개념이 등장합니다.

$$ \Phi_{\rm{E}} = \vec{E} \cdot \vec{A} $$

이렇게 정의됩니다. 여기서 $\Phi$가 바로 플럭스를 의미하는 물리량이고, 아래첨자의 E는 전기장임을 의미합니다. 그래서 $\Phi_{\rm{E}}$를 전기장 플럭스 라고도 말해요. 전기장 플럭스라는 건 어떤 면적에 전기장이 통과할 때 이야기할 수 있는 물리량인데, 그 전기장의 세기가 강하면 강할수록 그 면적을 통과하는 플럭스 값이 크고, 그 면적이 클수록 더 많은 전기장이 통과하므로 플럭스 값이 큽니다. 내가 잡은 면적이 얼마만큼인지도 플럭스에 영향을 주는거예요. 면적을 크게 잡을수록 플럭스가 클수도 있는것이죠.

따라서 그 값은 전기장 $E$의 크기와 면적값 $A$의 곱에 비례합니다. 그런데 전기장은 벡터이고, 면적도 벡터로 표시했는데, 면적이 있을때 그 면에 수직인 방향을 기준으로 면적 벡터가 정의됩니다.

이 그림처럼 정의가 되는데, 이 그림은 사각형 면에 대해서만 정의가 되었습니다.
그리고 플럭스는 $\vec{E} \cdot \vec{A}$로 적은 것처럼 전기장과 면적 벡터의 내적값입니다. 내가 잡은 임의의 면적을 전기장이 면적벡터와 동일한 방향으로 통과할 수도 있고, 비스듬한 방향으로 통과할 수도 있는데, 그것을 고려해주어 내적해주면 됩니다.

곡면을 통과하는 경우의 플럭스를 구하기 위해서는 적분을 이용합니다. 곡면이라는 건 수없이 많은, 엄청 작은 조각 사각 면적들이 모인 것이므로

$$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} $$

으로 정의됩니다.

그리고 등장하는 것이 가우스 법칙(Gauss' law)입니다. 전하를 둘러 싸는 가우스 곡면과, 그 플럭스에 대한 관계를 말하는데요.

$$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{\sum{Q}}{\varepsilon_0} $$

전기장 플럭스가 유전율과 $\sum{Q}$로 결정된다는 것입니다!
여기서 $\sum{Q}$는 내가 둘러싼 가우스 곡면 안에 있는 모든 전하량들의 단순 합입니다.

이제 우리의 문제로 다시 돌아와서 생각해봅시다.

공 모양 가우스 곡면의 반지름을 $r$이라고 하고 가우스 법칙을 적용해보면,

$$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \oint E \cdot dA = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$

가 됩니다. 여기서 적분이 엄청 간단하게 단순히 구의 겉넓이와 전기장의 곱으로 나왔는데, 점전하로부터 뻗어나오는 전기장이 항상 구의 표면과 수직이기 때문에 내적이 간단하게 $\vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot A \cdot \cos (\theta) = E\cdot A$가 되기 때문입니다. 그리고 나서 적분은 구의 겉넓이가 되는 것이죠.
위의 식을 더 정리하면,

$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} $$

의 식이 됩니다. 즉, 점전하가 $r$의 위치에 만드는 전기장 식과 같아요!

만약 내가 공 모양의 반지름을 $2r$로 잡았다면?

똑같이 가우스 법칙을 적용해봅시다.

$$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \oint E \cdot dA = E \cdot 4\pi (2r)^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$

이 될거예요. 정리하면,

$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{(2r)^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{4r^2} $$

단순히 $2r$의 거리에서의 전기장의 세기 식과 같아졌습니다.