원통이 혼자 구를 때의 마찰력의 방향

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안녕하세요, 설군입니다.

이전 글에서, 원통을 잡아딩기며 굴릴 때의 마찰력의 방향에 대해서 이야기 한 적이 있습니다.
(https://seolgoons.tistory.com/70)

이 경우와는 다르게, 빗면에서 원통이 중력만을 받으며 굴러가는 상황에 대해서 생각해봅시다. 이 상황에서는 마찰력의 방향이 달라요.

이와 같이 질량이 \(M\), 반지름이 \(R\)인 원통이 빗면에서 *미끄러지지 않고 구르는* 경우를 생각해보면, 다음과 같이 물체에 작용하는 힘 그림을 그려볼 수 있습니다.

빗면 위의 물체가 받는 힘은, 중력의 빗면 방향 성분(\(x\) 방향 성분)과, 그것에 수직인 방향의 수직항력 \(N\)을 받고, 그리고 그것과 상쇄되는 중력의 성분 \(Mg \cos(\theta\)\)를 받을 거예요. 물론 물체가 \(x\)-축 방향으로만 움직이므로 수직항력과 중력성분은 상쇄되어, 물체에 작용하는 중력의 성분은 오직 \(Mg \sin(\theta\)만 남을 거예요. 그런데 이 중력 성분은 물체의 *질량 중심*에 작용하는 성분입니다.

따라서 물체에 토크를 만들지 않고, 물체를 회전시키는 원인이 되지 않아요. 그렇다면 토크가 과연 어느 힘으로부터 만들어졌을까요?
물체는 우리가 위의 그림에서 시계방향으로 구르며 내려올것이라는 걸 알고 있어요. 따라서 토크도 시계방향으로 만들어져야 하는데 이것의 주인이 바로 바닥과 물체의 마찰력입니다.

그래서 물체가 받는 알짜힘을 분석할 때에는 위에 그림 빨간색 힘 두 개만 남습니다.

직선 운동 방정식을 먼저 세워보면,

$$Mg \sin (\theta) - f = Ma$$

으로 세워지고, 회전 운동 방정식은

$$\tau = Rf = I \alpha = \frac{1}{2} MR^2 \cdot \frac{a}{R}$$

이렇게 세워집니다. 여기서 제가 말하고싶은 내용은 마찰력의 방향이 이전 글의 경우와 다르다는 것입니다.

이전 글에서는 위와같이 마찰력의 방향이 신기하게도 실패를 잡아 당기는 것과 동일한 방향이었어요. 실패를 강제로 잡아당겨 시계방향으로 회전시키기 때문에, 그 회전과 반대되는 방향으로 실패와 바닥사이 마찰력이 작용한다는 게 요지였습니다.

빗면에서 구르는 경우에는 어떤 외력에 의한 토크가 발생되어 그것에 의한 회전과 반대되는 방향의 마찰력을 생각할 필요가 없이, 애초에 마찰력이 토크의 원인이 되어야 하는것이예요.