변하는 힘이 한 일 구하기 예제

반응형

안녕하세요, 설군입니다.

 

다음 그림과 같이 어떤 입자가 변하는 힘 $F_x$ 을 받으며 위치가 변하고 있습니다. 이 경우에 입자에 가해진 힘이 한 일을 구해봅시다.

입자가 받는 힘 vs 입자의 위치 그래프에서, 특정 위치부터 특정 위치까지 입자에 가해진 힘이 한 일은

특정 위치부터 특정 위치까지의 그래프의 면적과 일치합니다. 그 이유는 일을 구하는 식이

$$W={\int }_{x=a}^{x=b}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{x}$$

로 표현되기 때문입니다. 어떤 위치 $x=a$ 부터 어떤 위치 $x=b$ 까지, 입자에 가해진 힘 $\vec{F}$ 가 한 일은, 위와같이 적분식으로 주어진다는 의미입니다. 삼차원 공간상에서의 적분은 어렵지만, 이 문제의 경우에는 입자가 $x$ 축 선 상에서만 움직이고, 입자가 받는 힘도 $x$ 방향으로만 제한되어 있기 때문입니다.

 

입자는 $x=0$ 인 위치에서 출발합니다. 그리고 입자에는 힘이 가해지는데, 점점점점 입자에 가해지는 힘이 세집니다. $x=5$ 위치가 될 때까지 힘이 $3 \ \rm{N}$ 까지 세지다가, 그 힘의 세기를 유지하면서 입자는 여전히 힘을 받습니다. 그리고 나서는 그 힘의 세기가 $x=10$ 의 위치까지 유지되다가, 다시 힘이 점점 약해지게 됩니다. $x=15$ 위치가 될 때 까지요. 그리고 나서 다음 상황은 알려져있지 않지만, $x=15$ 인 위치에서 입자가 받는 힘의 세기는 0입니다.

 

힘의 세기가 0이라고 해서 입자가 움직이지 않는다는 이야기는 아닙니다.

 

(a) $x=0$ 인 위치부터 $x=5.00$ 인 위치까지 입자에 가해진 힘이 한 일

이 구간 사이의 면적을 구하면 됩니다. 단순하게 삼각형의 넓이이므로

$$W=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3=7.5\mathrm{J}$$

이 됩니다. 여기서 물체에 가해진 힘의 단위가 $\rm{N}$ 이고, 물체의 위치 단위가 $\rm{m}$ 이므로 MKS 단위계를 따릅니다. 그러므로 이 단위계에서 일의 단위는 $\rm{J}$ 입니다.

 

(b) $x=5.00$ 인 위치부터 $x=10.0$ 인 위치까지 입자에 가해진 힘이 한 일

마찬가지로 해당 구간 사이에서의 면적을 구하면 되는데, 이 경우는 사각형입니다. 일의 크기는 따라서

$$W=5\cdot 3=15\mathrm{J}$$

입니다.

 

(c) $x=10.0$ 인 위치부터 $x=15.0$ 인 위치까지 입자에 가해진 힘이 한 일

$$W=7.5\mathrm{J}$$

입니다.

 

(d) 입자에 가해진 힘이 한 총 일

총 일의 양은, 앞서 구한 일의 양을 모두 더하면 됩니다. 그러므로

$$W_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=7.5+15+7.5=30\mathrm{J}$$

입니다.