솔레노이드가 만드는 자기장 예제

 

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안녕하세요, 설군입니다.

 

위의 그림과 같이 반지름이 $r=1.25\ \mathrm{cm}$ 이고, 총 길이가 $l = 30.0\ \mathrm{cm}$ 인 솔레노이드가 있습니다. 그리고 이 솔레노이드의 총 감은수는 $N=300$ 회 이며, 이 솔레노이드에 전류가 $I = 12.0\ \mathrm{A}$ 흐르고 있습니다.

 

그림과 같이 반지름이 $R=5.00\ \mathrm{cm}$ 이며, 솔레노이드를 수직으로 관통하는 원판 모양의 임의의 면을 잡았을 때 (a) 이 면을 통과하는 플럭스를 구해봅시다.

그리고 (b) 위의 그림과 같은 도넛 같은 면을 통과하는 플럭스도 구해봅시다. 이 때 도넛의 내경은 $a=0.400\ \mathrm{cm}$ 이고, 외경은 $b=0.800\ \mathrm{cm}$ 입니다.

(a)
솔레노이드가 만드는 외부 자기장은 무시할 수 있고, 솔레노이드 내부 자기장의 세기 공식은 다음과 같이 주어집니다.
$$B=\mu_0 n I$$
이 때, $n$ 은 $N$ 과 다릅니다. $n$ 은 단위 길이당 감은 수 이므로, 다음과 같이 계산됩니다.
$$n=\frac{N}{L} = \frac{300}{0.3}=1000$$
그리고 전류값을 대입해주면, 솔레노이드 내부에 생성되는 균일한 자기장의 세기는
$$B=\mu_0 \times 1000 \times 12.0=0.015\ \mathrm{T}$$
가 됩니다.

자기 플럭스의 공식은 다음과 같습니다.
$$ \Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{a}$$
자기 플럭스를 구하기 위해서는 적분을 해야하는데, 적분이라는 것은 아주 작은 무수히 많은 무언가를 계산한 다음 모조리 다 더하는 걸 말합니다. 여기서 아주 작은건 $\vec{B} \cdot d\vec{a}$ 입니다. 이 물리량은, 임의의 면적 $d\vec{a}$ 를 지나는 자기장이 $\vec{B}$ 일 때, 그 둘을 내적한 것을 의미합니다. 따라서 우리는 다음 그림과 같이,

문제에서 주어진 면적을 통과하는 자기 플럭스를 구하라고 했습니다. 그러므로 문제에서 주어진 면적에 자기장이 어떻게 통과하는지를 생각할 것입니다. 그리고 어찌됐든 아주아주 작은 미소면적과 그 미소면적을 통과하는 자기장을 생각해야 합니다. 그리고 그 미소면적을 통과하는 플럭스는 $d\Phi = \vec{B} \cdot d\vec{a}$ 로 주어지므로 이걸 모든 미소면적에 대해 구해야 됩니다. 그리고 나서 모든 $d\Phi$ 를 다 더해(적분) 줄 예정입니다.

 

잘 생각해보면 문제에서 주어진 면적은 솔레노이드의 단면보다도 큽니다. 그런데 자기장은 솔레노이드 내부에만 형성되어 있습니다. 솔레노이드 내부를 포함하는 미소면적에서 미소플럭스 값(내적 값)을 계산할 때에는 값이 존재 하겠지만, 솔레노이드를 포함하지 않는 미소면적에서는 자기장이 0이므로 미소플럭스 값이 0입니다.

 

문제에서 구하라는 주어진 면적 내에, 자기장이 지나가는 부분만 생각해주면 된다는 것입니다.다시 정리하자면, 솔레노이드 내부에만 자기장이 지나가므로, 솔레노이드 내부와 겹치는 영역만이 $ \vec{B} \cdot d\vec{a}$ 의 내적값이 살아남게 됩니다. 솔레노이드 외부의 경우에는 자기장이 0이므로 내적값은 0입니다.

따라서 자기 플럭스는
$$\Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{a} = 0.015 \times \pi (0.0125)^2 = 7.36\times 10^{-6} \ \mathrm{Wb}$$
가 됩니다.

이 문제에서 만약에 주어진 원판면의 반지름이 오히려 커졌다면 결과가 어떻게 달라질까요? 앞서 적분을 하며 설명했던 것처럼, 원판면의 면적이 커지더라도 어차피 자기장이 통과하는 면적만 플럭스가 존재하므로, 플럭스 값은 달라지지 않습니다.

그렇다면 솔레노이드 보다도 면적이 작다면 플럭스의 값은 어떻게 될까요? (b) 번 문제를 통해 알아봅시다.

(b)
솔레노이드 내부만 생각할 때에는 균일한 자기장이 펼쳐져 있습니다. 균일한 자기장이 펼쳐진 공간에서, 임의의 면적을 잡은 다음 그 면적을 통과하는 자기력선의 개수를 세는 것이 바로 자기 플럭스의 의미입니다. 따라서 균일한 자기장이 펼쳐진 공간에, 넓은 면적을 잡아서 그곳을 통과하는 자기 플럭스를 계산한다면 값이 클 테고, 좁은 면적을 잡아서 그곳을 통과하는 자기 플럭스를 계산한다면 값이 작을 것입니다.
그리고 그렇게 계산한, 면적이 다른 곳에서의 자기 플럭스의 비율은, 두 면의 면적의 비율과 동일합니다.

따라서, 그냥 (b) 에서 제시한 도넛 면의 면적과, 솔레노이드의 자기장의 세기를 곱해주면 (b) 에서 구하고자 하는 결과가 됩니다.
$$ \Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{a} = 0.015 \times \pi (0.008^2 - 0.004^2) = 2.26 \times 10^{-6}\ \mathrm{Wb}$$
가 됩니다.