위치-시간 그래프 해석하기 예제

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안녕하세요, 설군입니다.

 

어떤 입자가 $x$ 축 상에서 움직이고 있을 때, 물체의 위치-시간 그래프가 주어졌습니다. 즉 시간에 따라서 물체의 위치가 $x$ 축 상의 어떤 위치에 있는지를 표시한 것입니다. 그래프가 포물선 모양이라고 해서 물체의 운동 경로가 포물선 모양이라는 게 아닙니다!

(a) 시간이 1.5 초 일 때부터 4 초 일 때까지의 물체의 평균 속도를 구해봅시다.

평균 속도라는 물리량은, 벡터량입니다. 평균 속도의 정의는, 물체의 변위 나누기 걸린 시간입니다.

$$ \text{(평균 속도)} = \frac{\text{(변위)}}{\text{(걸린 시간)}} $$

평균 속도라는 물리량이 벡터량이라는 의미는, 주어진 정의에서 변위라는 물리량도 벡터량이라는 의미입니다.

변위라는 것은 물체의 나중 위치 빼기 처음 위치입니다.

$$ \text{(변위)} = \text{(나중 위치)} - \text{(처음 위치)} $$

 

걸린 시간을 먼저 구해보면, $ 4 - 1.5 = 2.5 \ \mathrm{(s)} $ 입니다.

물체의 나중 위치 빼기 처음 위치를 계산한다는 말은, 4 초 일 때의 위치 빼기 1.5 초 일 때의 위치를 구한다는 말입니다. 

그러므로 4 초일 때의 위치는 2 m 위치이고, 1.5 초 일 때의 위치는 8 m 위치이므로,

$$ \text{(변위)} = 2 - 8 = -6 \ \mathrm{(m)} $$

이렇게 변위가 구해집니다. 그래프를 보면서 다시 살펴봅시다.

따라서 이 값을 계산하면 이 시간 구간동안의 평균 속도는 $-2.4 \ \mathrm{(m/s)}$ 가 됩니다. $x$ 축 상에서 양수 방향을 오른쪽 방향, 음수 방향을 왼쪽 방향이라고 생각한다면, 이 시간 구간동안의 입자의 평균 속도는 왼쪽 방향으로 속력이 $2.4 \ \mathrm{(m/s)}$ 라는 의미입니다.

 

(b) 시간이 2 초 인 순간의 물체의 순간 속도를 구해봅시다.

그래프를 이용해서 물체의 순간 속도를 구할 수 있습니다.

위치-시간 그래프에서 특정 순간의 물체의 순간 속도는, 그 그래프의 접선의 기울기를 의미합니다.

시간이 2 초 일 때의 위치-시간 그래프의 접선을 파란색 직선으로 표시하였습니다. 우리가 구해야 하는 것은 접선의 기울기입니다.

접선의 기울기는, 그래프에 표시된 좌표 중에 직선이 지나는 두 좌표를 알고있으면 구할 수 있습니다.

직선이 $(2, 6)$, $(3, 2)$ 를 지나므로 간단하게 기울기를 구해주면 기울기 값은 $-4$ 가 되겠죠?

기울기가 바로 물체의 순간 속도이므로, $-4 \ \mathrm{(m/s)}$ 가 정답이 됩니다.

2 초 인 순간에서 물체는 왼쪽 방향으로 $4 \ \mathrm{(m/s)}$ 의 속력으로 이동하고 있는 상황이라고 해석할 수 있습니다.

 

(c) 물체가 어느 순간에 정지를 잠깐 하게 되는데, 그게 어느 순간인지 생각해봅시다.

물체의 순간 속도가 0일 때에는, 그래프 상에서 접선의 기울기가 0인 순간입니다.

접선의 기울기가 0인 순간은 포물선 모양의 그래프에서 가장 볼록한 부분이 되므로, 표시된 그림 상에서 4 초 인 순간이 되게 됩니다.

 

(d) 물체의 순간 속도가 매 시각 어떻게 변화하는가?

4 초 인 순간을 기준으로, 4 초 가 지나기 전까지는 물체의 순간 속도는 항상 음수 값을 가지게 됩니다. 왜냐하면 접선의 기울기가 항상 음수이기 때문이죠.

그런데 4 초 인 순간에는 접선의 기울기가 0 이 되게 되고, 4 초 를 지나게 되면, 다시 접선의 기울기는 양수가 되게 됩니다.

접선의 기울기가 양수라는 말은 물체의 순간 속도가 4 초 이후부터는 항상 양수 값이라는 의미입니다.