가속도-시간 그래프의 분석

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안녕하세요, 설군입니다.

 

다음 그림과 같이 어떤 입자가 $x$ 축 상에서 가속 운동을 하고 있습니다.

여기서 가속도의 단위는 $ \mathrm{m/s^2}$ 으로, 1 초에 $1 \ \mathrm{m/s}$ 의 속력 변화를 만드는 만큼이라는 뜻입니다.

물체가 처음에 정지해있었다고 생각합니다.

 

위에 주어진 가속도-시간 그래프를 해석해봅시다.

물체가 처음에 정지해 있었으므로 속력은 0이었고, 0 초부터 10 초 까지는 2 만큼의 크기로 가속도가 유지되고 있습니다.

물체가 $x$ 축 상에서 움직이고, $+x$ 축 방향을 물체가 앞으로 진행하는 방향이라고 생각하면, 0 초부터 10 초까지는 물체는 앞으로 진행하게 될 테고, 그 물체의 속력은 일정하게 증가하게 될 것입니다.

(가속도가 일정하므로 물체의 속력 변화량이 일정합니다.)

 

0 초부터 10 초까지의 물체가 속력이 얼마나 변했는지를 계산해봅시다.

0 초부터 10 초까지 물체의 가속도가 일정하므로, 등가속도 운동이라고 생각할 수 있습니다.

그러므로 등가속도 운동 공식을 이용하여 물체의 나중 속력을 구할 수 있습니다.

물체의 나중 속력을 $v$, 물체의 처음 속력을 $v_0$, 물체가 받는 가속도를 $a$, 지나간 시간을 $t$ 라고 표현한다면 다음과 같은 식을 만족합니다.

따라서 10 초가 지난 후에 물체의 속력은 20 m/s 가 됩니다.

또한, 주어진 가속도-시간 그래프에서 그래프의 면적은 속도의 변화량을 의미합니다.

0 초부터 10 초동안의 그래프의 면적을 구하면 그게 바로 물체의 속도의 변화량입니다.

0 초부터 10 초동안의 그래프의 면적은 사각형의 넓이이므로 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

 

그렇다면 20 초일 때의 물체의 속도, 즉 물체는 얼마만큼의 속력으로 운동하고 있으며 그 방향은 어떻게 될까요?

이번에는 그래프를 잘 들여다보며 생각해봅시다.

가속도-시간 그래프를 잘 보면, 0 초부터 10 초까지는 물체는 양수 값으로 2 만큼의 가속도를 받고 있습니다.

그리고 10 초부터 15 초 까지 물체는 가속운동을 하지 않고 있습니다.

마지막으로 15 초부터 20 초까지의 물체는 음수 값으로 3 만큼의 가속도를 받고 있습니다.

 

가속도-시간 그래프에서 그래프의 면적이 속도의 변화량인데,

위와 같이 양수와 음수를 넘나드는 그래프의 경우에는, 그래프의 면적을 생각할 때, 양의 넓이와 음의 넓이를 따로 생각해야 합니다.

위에서 표시한 것처럼 파란색으로 표시된 것이 양의 넓이이고,

빨간색으로 색칠된 영역이 음의 넓이입니다.

 

처음에 물체가 정지한 상태에서 출발하였고, 앞 방향으로 운동이 진행된다고 할 때, 양의 넓이 만큼의 속력은 물체가 앞 방향으로 진행하며 얻은 속력을 의미합니다.

반면에 음의 넓이 만큼의 속력은 물체가 잃은 속력을 의미합니다.

 

그림에 표시한 사각형의 넓이값 (20 과 15) 을 함께 생각해보면,

0 초에 정지해 있던 물체는 10 초가 되어 속력을 얻어 20 m/s 의 속력으로 운동하게 되었고,

10 초부터 15 초 까지는 20 m/s 의 속력으로 일정하게 운동하고 있다가,

15 초부터는 물체는 점점점 느려지게 됩니다. 15 초부터 20 초까지의 속도 변화량이 15 m/s 인데, 이만큼의 속력을 잃었다는 의미이므로

20 초가 되었을 때의 물체의 속력은 5 m/s 인 것이죠. 이 순간 물체의 운동 방향은 여전히 앞방향입니다.

 

다음과 같이 그래프 변환을 이용해서도 구해볼 수 있습니다.

가속도-시간 그래프를, 속도-시간 그래프로 변환하는 과정입니다.

속도-시간 그래프에서 그래프의 기울기가 바로 가속도를 의미하므로,

0 초부터 10 초까지의 그래프의 기울기가 2 가 되도록 그래프를 그려주고,

10 초부터 15 초까지의 그래프의 기울기가 0 이 되도록 그래프를 그려주고,

15 초부터 20 초까지의 그래프의 기울기가 -3 이 되도록 그래프를 그려주면 완성입니다.