설군의연구소

안녕하세요, 설군입니다.위의 그림과 같이 임의의 속력 $v_0$ 로 출발한 물체가 빗면을 따라 올라가는 상황입니다.물체의 위치-시간 그래프를 그려보니 위와 같이 그려졌다고 합시다.물체는 일정한 가속도를 받을것입니다. 빗면 방향으로 위로 향하면서 올라가는데, 점점 속력이 줄어드는 운동을 할 테고그 속력은 시간에 따라 일정한 비율로 줄어들 거예요. 물체의 위치-시간 그래프를 보면 일정한 시간 간격으로 위치가 표시되어 있습니다.그리고 물체의 위치는 항상 증가 만 합니다. 그래서 일정한 시간 간격동안 물체가 *이동한 거리* 가 표시되어 있다고 봐도 됩니다.특정 시간 동안 물체가 이동한 거리를 알면, 평균 속력을 구할 수 있습니다.$$ \text{(평균 속력)} = \frac{\text{(총 이동한 거리)}}{\..

안녕하세요, 설군입니다. 계 라는 건 내가 관심이 있는 부분을 말합니다.고정 도르래에 매달린 두 물체를 생각해봅시다.두 물체 중 물체 A에 관심이 있는 경우는, A라는 계에 대해서 생각한다 라고 말합니다.두 물체를 합쳐서 한 덩이로 보고 분석하는 경우에는, 물체 A와 물체 B를 하나의 계로 보고 생각한다 라고 말합니다. 물체 A에 대해서만 생각하면, 물체 A가 받는 힘을 그려볼 때이렇게 그려집니다. 이게 이 계의 운동 방정식인 셈입니다. 물체 A가 받는 힘은 위로 실이 잡아당기는 장력과,지구가 물체 A를 잡아당기는 중력 뿐입니다. 물체 A 계의 역학적 에너지가 어떻게 변화하는지를 생각해봅시다.A의 경우 위로 가속 운동 하게 되므로 속력이 점점 증가하고, 높이도 증가합니다.따라서 운동 에너지도 증가할 테고..

안녕하세요, 설군입니다.위의 그림과 같이 두 물체 A, B가 있습니다. 두 물체는 처음 속도가 $+x$ 방향으로 각각 $8 \ \mathrm{m/s}$ , $2 \ \mathrm{m/s}$ 이고, 각각 가속도가 $+x$ 방향으로 $1 \ \mathrm{m/s^2}$, $2 \ \mathrm{m/s^2} $ 입니다. 둘이 처음에 떨어져 있는 거리는 $12 \ \mathrm{m}$ 입니다. 두 물체의 속도-시간 그래프를 한 그래프에 같이 그려봅시다.이렇게 그릴 수 있습니다. 물체 A, B 의 초기 속도가 주어져 있으므로, 속도 축의 절편에 직선 그래프를 맞추어주면 되고, 가속도가 일정한 등가속도 운동이므로 그래프의 모양은 기울기가 있는 직선 모양이어야 합니다. 그리고 그 그래프의 기울기들은 각각 가속도를 의..

MathJax = { tex: {inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']]} }; 안녕하세요, 설군입니다.그림과 같이 P 지점에서 출발한 물체가 R 에 도착하였습니다. 총 걸린 시간은 10 초이며, 물체의 속도-시간 그래프가 주어졌습니다. 임의의 지점 P, Q, R 이 표시되어 있는데 각각 사이 간격은 25 m 입니다. * 이동한 거리물체가 P 지점부터 R 지점까지 이동한 거리는 얼마나 될까요? 25 + 25 = 50 m 일까요?운동이 어떻게 이루어 졌는지에 따라서 이동한 거리는 50 m 가 아닐 수도 있습니다. 앞으로 갔다 뒤로 갔다 하는 운동을 했을수도 있으니까요.그러나 이 문제의 경우에는, 물체가 앞으로만 운동했다는 사실을 속도-시간 그래프를 ..

안녕하세요, 설군입니다. 물리학에서는 미분 방정식이 매우 많이 등장합니다. 뉴턴의 법칙 중 하나인 *가속도의 법칙* 또한 미분 방정식의 일종이고, 양자역학에서 유명한 *슈뢰딩거 방정식* 또한 미분 방정식의 일종입니다. 대학생 때 물리학과 과목으로 개설되었던 *미분 방정식* 이라는 과목을 재미있게 공부했던 기억이 있습니다. Dennis G. Zill 의 A first course in differential equations with modeling applications, 10th 교과서로 공부하였습니다. (한글 제목으로는 *미분방정식 입문* 입니다.) 미분 방정식은 도함수를 포함하는 방정식입니다. 일계 미분이냐, 이계 미분이냐 상관 없이 포함만 되어 있으면 미분 방정식입니다. 만약 $y'$ 을 포함한다..

안녕하세요, 설군입니다.그림과 같이 빗면에 도르래가 고정되어 있고, (가), (나) 의 두 가지 상황이 있습니다. 물체 A의 질량은 모르는 상태이고, 물체 B, C의 질량은 각각 $m$, $4m$ 입니다. 물체 A의 가속도의 방향은 화살표로 표시하였습니다. (가), (나) 모두 빗면의 각도는 동일한 상황이며, 빗면과의 마찰 등은 무시하는 상황입니다. 두 상황에서, 물체들에 대해 각각 운동 방정식을 세워 분석해봅시다.(가) 상황에서, 먼저 물체 A에 대해서, 물체 A가 받는 모든 힘을 표시하면 위와 같습니다. 여기서, 물체 A는 빗면에 놓여 있으므로, 중력이 물체 A를 잡아당기는 힘의 빗면 방향 성분을 따져야 합니다. 그 힘의 크기를 $m_{\mathrm{A}} g'$ 으로 표현하였습니다. 물체 A의 질량..

안녕하세요, 설군입니다. 그림과 같이 질량이 $3m$ 인 물체 A와, 질량이 $m$ 인 물체 B가 도르래에 매달려 있습니다. 외부에서 사람이 물체 A 를 아래로 $F$ 만큼의 힘을 주어 끌어당기는 상황입니다. 이 때에 물체 A의 가속도의 방향은 아래 방향이고, 가속도의 크기는 $a$ 라고 합시다. 각각의 물체들에 대해 운동 방정식을 세워봅시다. 물체 A에 대해 운동 방정식을 세우기 위해서, 물체 A가 받는 힘들을 표시해보고, 운동 방정식을 세우면 다음과 같이 세울 수 있습니다. 물체 B에 대해서도 똑같은 과정을 거치면 다음과 같이 구할 수 있습니다. 이번에는 두 번째 실험을 해서, 다음과 같이 질량이 더 가벼운 물체 B를 아래로 힘 $F$ 로 잡아당기는 상황을 생각해봅시다. 이 경우에는 물체 B는 아래 ..

안녕하세요, 설군입니다. 위 그림과 같이 자기장이 화면을 뚫고 들어가는 방향으로 $\vec{B}_{\mathrm{in}}$ 으로 균일하게 펼쳐져 있는 공간이 있습니다. 이 공간의 가로 길이는 총 $3w$ 입니다. 이 공간에, 왼쪽에서 출발해서 오른쪽으로 속도 $\vec{v}$ 로 일정하게 움직이는 ㅁ 모양의 도선이 있습니다. 이 고리 도선의 세로 길이는 $l$, 가로 길이는 $w$ 라고 하겠습니다. 고리 도선의 오른쪽 부분이 자기장 영역에 닿은지점을 그림과 같이 $x=0$ 으로 출발점으로 잡겠습니다. 그리고 $x$ 가 증가함에 따라 고리 도선을 통과하는 자기 플럭스가 어떻게 되는지를 생각해보면 다음과 같습니다. 자기 플럭스 $\Phi_{\mathrm{B}}$ 라는 물리량은 결국 자기장과 면적의 곱으로 주..

안녕하세요, 설군입니다. 다음과 같이 평평하고, 지면으로부터의 각도가 $\theta$ 인 빗면에서 물체가 받는 힘을 모조리 분석해봅시다. 물체가 받는 중력은 아래 방향으로 $mg$ 입니다. 그리고 빗면과 수직한 방향으로 수직항력 $N$ 을 받습니다. 이 수직항력을 $x$, $y$ 방향으로 각각 분해하기 위해 빗면 각도 $\theta$ 를 요리조리 잘 분석하여 각도를 표시해봅니다. 잘 표시해보면 이렇게 닮은꼴 삼각형을 찾을 수 있습니다. 물체가 받는 수직항력의 $x$ 성분은 $N_x$ 로 표시하였고, sine 이 곱해진 값이 됩니다. 물체가 받는 수직항력의 $y$ 성분은 $N_y$ 로 표시하여, cosine 이 곱해진 값이 됩니다. 따라서, 빗면의 각도가 $\theta$ 인 평평한 빗면에 물체가 놓여있을 ..

안녕하세요, 설군입니다. 그림과 같이 화면을 뚫고 들어가는 방향으로 자기장 $\vec{B}_{\mathrm{in}}$ 이 펼쳐져 있습니다. 그곳에는 길이가 $l$인 금속 막대(두껍게 그렸음)가 있습니다. 이 금속 막대가 일정한 속도 $\vec{v}$ 로 오른쪽으로 움직이고 있는 상황을 생각해 봅시다. 금속 막대가 오른쪽으로 움직이고 있으므로, 금속 막대 내의 전자도 오른쪽으로 움직이게 됩니다. 그런데, 자기장이 펼쳐진 공간에서 전하를 띤 입자가 움직일 때에는 자기력을 받습니다. 오른 손바닥 법칙을 이용하여 전자가 받는 자기력의 방향을 찾아보면, 그림에서 표시한 것처럼 파란색 벡터 방향입니다. 그 자기력의 세기와 방향을 $\vec{F}_{\mathrm{B}}$ 라고 표시했습니다. 금속 막대 내부에는 전자가..