설군의연구소

안녕하세요, 설군입니다. 어떤 입자가 $x$ 축 상에서 움직이고 있을 때, 물체의 위치-시간 그래프가 주어졌습니다. 즉 시간에 따라서 물체의 위치가 $x$ 축 상의 어떤 위치에 있는지를 표시한 것입니다. 그래프가 포물선 모양이라고 해서 물체의 운동 경로가 포물선 모양이라는 게 아닙니다!(a) 시간이 1.5 초 일 때부터 4 초 일 때까지의 물체의 평균 속도를 구해봅시다.평균 속도라는 물리량은, 벡터량입니다. 평균 속도의 정의는, 물체의 변위 나누기 걸린 시간입니다.$$ \text{(평균 속도)} = \frac{\text{(변위)}}{\text{(걸린 시간)}} $$평균 속도라는 물리량이 벡터량이라는 의미는, 주어진 정의에서 변위라는 물리량도 벡터량이라는 의미입니다.변위라는 것은 물체의 나중 위치 빼기 처..

안녕하세요, 설군입니다. 다음 그림과 같이 어떤 입자가 변하는 힘 $F_x$ 을 받으며 위치가 변하고 있습니다. 이 경우에 입자에 가해진 힘이 한 일을 구해봅시다.입자가 받는 힘 vs 입자의 위치 그래프에서, 특정 위치부터 특정 위치까지 입자에 가해진 힘이 한 일은특정 위치부터 특정 위치까지의 그래프의 면적과 일치합니다. 그 이유는 일을 구하는 식이$$ W = \int_{x=a}^{x=b} \vec{F} \cdot d \vec{x} $$로 표현되기 때문입니다. 어떤 위치 $x=a$ 부터 어떤 위치 $x=b$ 까지, 입자에 가해진 힘 $\vec{F}$ 가 한 일은, 위와같이 적분식으로 주어진다는 의미입니다. 삼차원 공간상에서의 적분은 어렵지만, 이 문제의 경우에는 입자가 $x$ 축 선 상에서만 움직이고, ..

안녕하세요, 설군입니다. 벡터의 내적에 대한 예제 문제들을 풀어봅시다.예제 1주어진 $\vec{A}$ 는 크기가 $5.00$ 단위이고, $\vec{B}$ 는 크기가 $9.00$ 단위입니다. 이 때 두 벡터가 이루는 각도가 $50.0°$ 일 때 두 벡터의 내적 $\vec{A} \cdot \vec{B}$ 을 구해봅시다. 벡터 $\vec{A}$ 의 $x$ 성분의 크기와 $y$ 성분의 크기를 각각 $A_x$, $A_y$ 라고 표현할 수 있습니다.마찬가지로 벡터 $\vec{B}$ 에 대해서도 이 벡터의 성분의 크기를 각각 $B_x$, $B_y$ 라고 표현할 수 있습니다.이 때 두 벡터를 위의 표현으로 다시 적어보면,$$ \vec{A} = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} $$$$ \vec{B} = B..

안녕하세요, 설군입니다.  Dennis G. Zill 의 A first course in differential equations with modeling applications, 10th 교과서를 많이 참고하였습니다.한글 제목으로는 '미분방정식 입문' 이라는 교과서입니다. 이 글을 읽고 미분 방정식의 기초를 이해하는 데 조금이라도 도움이 되었으면 좋겠네요. 미분 방정식이란?미분 방정식은 방정식입니다. 그런데 도함수를 포함하는 방정식입니다. 도함수라는 건 그냥 우리가 흔히 아는 $y'$ 이런 것들을 말합니다. 어떤 함수를 어떤 변수로 미분한 걸 말하죠.도함수가 몇 차냐, 즉 몇 번 미분했는지에 상관 없이 그런 도함수가 들어가있는 방정식을 미분 방정식이라고 합니다.도함수가 포함되지 않은 - 그냥 방정식을 ..

안녕하세요, 설군입니다. 구면 좌표계에서 적분을 할 때, 구면 좌표계에서의 부피 요소를 기억해내야 합니다. 다음 그림을 기억하면 쉽게 공식을 기억해낼 수 있습니다. 구면 좌표계에서는 z축으로부터 임의의 점까지의 각도를 $\theta$ 로 나타냅니다. 그리고 x축으로부터 임의의 점까지의 xy 평면 상에서의 각도를 $\phi$ 로 나타냅니다. 그리고 원점으로부터 임의의 점까지의 직선 거리를 $r$ 로 나타냅니다.그래서 한 점을 나타내는 좌표는 $r$, $\theta$, $\phi$ 로 결정됩니다. 그 점을 그림상에서 노란색으로 표시하였습니다. 이제 임의의 한 점에서, 각 변수들을 약간만큼 증가시켜서 각각 $\Delta r$ 만큼 길이를 증가시키고, $\Delta \theta$ 만큼 z축으로부터의 각도를 살짝..

안녕하세요, 설군입니다.위의 그림과 같이 임의의 속력 $v_0$ 로 출발한 물체가 빗면을 따라 올라가는 상황입니다.물체의 위치-시간 그래프를 그려보니 위와 같이 그려졌다고 합시다.물체는 일정한 가속도를 받을것입니다. 빗면 방향으로 위로 향하면서 올라가는데, 점점 속력이 줄어드는 운동을 할 테고그 속력은 시간에 따라 일정한 비율로 줄어들 거예요. 물체의 위치-시간 그래프를 보면 일정한 시간 간격으로 위치가 표시되어 있습니다.그리고 물체의 위치는 항상 증가 만 합니다. 그래서 일정한 시간 간격동안 물체가 *이동한 거리* 가 표시되어 있다고 봐도 됩니다.특정 시간 동안 물체가 이동한 거리를 알면, 평균 속력을 구할 수 있습니다.$$ \text{(평균 속력)} = \frac{\text{(총 이동한 거리)}}{\..

안녕하세요, 설군입니다. 계 라는 건 내가 관심이 있는 부분을 말합니다.고정 도르래에 매달린 두 물체를 생각해봅시다.두 물체 중 물체 A에 관심이 있는 경우는, A라는 계에 대해서 생각한다 라고 말합니다.두 물체를 합쳐서 한 덩이로 보고 분석하는 경우에는, 물체 A와 물체 B를 하나의 계로 보고 생각한다 라고 말합니다. 물체 A에 대해서만 생각하면, 물체 A가 받는 힘을 그려볼 때이렇게 그려집니다. 이게 이 계의 운동 방정식인 셈입니다. 물체 A가 받는 힘은 위로 실이 잡아당기는 장력과,지구가 물체 A를 잡아당기는 중력 뿐입니다. 물체 A 계의 역학적 에너지가 어떻게 변화하는지를 생각해봅시다.A의 경우 위로 가속 운동 하게 되므로 속력이 점점 증가하고, 높이도 증가합니다.따라서 운동 에너지도 증가할 테고..

안녕하세요, 설군입니다.위의 그림과 같이 두 물체 A, B가 있습니다. 두 물체는 처음 속도가 $+x$ 방향으로 각각 $8 \ \mathrm{m/s}$ , $2 \ \mathrm{m/s}$ 이고, 각각 가속도가 $+x$ 방향으로 $1 \ \mathrm{m/s^2}$, $2 \ \mathrm{m/s^2} $ 입니다. 둘이 처음에 떨어져 있는 거리는 $12 \ \mathrm{m}$ 입니다. 두 물체의 속도-시간 그래프를 한 그래프에 같이 그려봅시다.이렇게 그릴 수 있습니다. 물체 A, B 의 초기 속도가 주어져 있으므로, 속도 축의 절편에 직선 그래프를 맞추어주면 되고, 가속도가 일정한 등가속도 운동이므로 그래프의 모양은 기울기가 있는 직선 모양이어야 합니다. 그리고 그 그래프의 기울기들은 각각 가속도를 의..

MathJax = { tex: {inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']]} }; 안녕하세요, 설군입니다.그림과 같이 P 지점에서 출발한 물체가 R 에 도착하였습니다. 총 걸린 시간은 10 초이며, 물체의 속도-시간 그래프가 주어졌습니다. 임의의 지점 P, Q, R 이 표시되어 있는데 각각 사이 간격은 25 m 입니다. * 이동한 거리물체가 P 지점부터 R 지점까지 이동한 거리는 얼마나 될까요? 25 + 25 = 50 m 일까요?운동이 어떻게 이루어 졌는지에 따라서 이동한 거리는 50 m 가 아닐 수도 있습니다. 앞으로 갔다 뒤로 갔다 하는 운동을 했을수도 있으니까요.그러나 이 문제의 경우에는, 물체가 앞으로만 운동했다는 사실을 속도-시간 그래프를 ..

안녕하세요, 설군입니다. 물리학에서는 미분 방정식이 매우 많이 등장합니다. 뉴턴의 법칙 중 하나인 *가속도의 법칙* 또한 미분 방정식의 일종이고, 양자역학에서 유명한 *슈뢰딩거 방정식* 또한 미분 방정식의 일종입니다. 대학생 때 물리학과 과목으로 개설되었던 *미분 방정식* 이라는 과목을 재미있게 공부했던 기억이 있습니다. Dennis G. Zill 의 A first course in differential equations with modeling applications, 10th 교과서로 공부하였습니다. (한글 제목으로는 *미분방정식 입문* 입니다.) 미분 방정식은 도함수를 포함하는 방정식입니다. 일계 미분이냐, 이계 미분이냐 상관 없이 포함만 되어 있으면 미분 방정식입니다. 만약 $y'$ 을 포함한다..