빗면에서 고정 도르래에 매달린 두 물체의 운동 방정식 세우기

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안녕하세요, 설군입니다.

그림과 같이 빗면에 도르래가 고정되어 있고, (가), (나) 의 두 가지 상황이 있습니다. 물체 A의 질량은 모르는 상태이고, 물체 B, C의 질량은 각각 $m$, $4m$ 입니다. 물체 A의 가속도의 방향은 화살표로 표시하였습니다. (가), (나) 모두 빗면의 각도는 동일한 상황이며, 빗면과의 마찰 등은 무시하는 상황입니다.

 

두 상황에서, 물체들에 대해 각각 운동 방정식을 세워 분석해봅시다.

(가) 상황에서, 먼저 물체 A에 대해서, 물체 A가 받는 모든 힘을 표시하면 위와 같습니다. 여기서, 물체 A는 빗면에 놓여 있으므로, 중력이 물체 A를 잡아당기는 힘의 빗면 방향 성분을 따져야 합니다. 그 힘의 크기를 $m_{\mathrm{A}}{g}^{\prime }$ 으로 표현하였습니다. 물체 A의 질량과 $g^{\prime }$ 이라는 값이 곱해졌다는 의미입니다. $g^{\prime }$ 은 중력 가속도보다는 작은 값을 가지는 상수입니다. 빗면의 각도가 (가), (나) 상황 모두 같은 상황이므로, (나) 에서도 이 $g^{\prime }$ 이라는 기호를 똑같이 사용해도 됩니다.

(가) 상황에서 물체 B는 위 아래 방향으로만 힘을 받으므로 쉽게 운동 방정식을 세울 수 있습니다. 여기서 간단하게 (가) 상황에서의 장력의 크기를 계산할 수 있네요. 일단 이렇게 두고 (나) 상황에 대해서도 분석해봅시다.

위와 같이 식을 세울 수 있고, 마찬가지로 (나)의 상황에서 물체 C에 대해서도

* 참고로, (가)의 상황과 (나)의 상황에서 장력은 구분지어 기호로 표시해야 합니다. 그래서 (나)의 상황에서의 장력은 $T^{\prime }$ 으로 표시하였습니다.

식을 세울 수 있습니다. (4) 번 식에서도 간단하게 장력 $T^{\prime }$ 이 구해지네요.

 

식들을 정리하여 (1), (3) 번 식과, 장력 $T$, $T^{\prime }$ 값들만 놓고 들여다봅시다.

장력 값들을 위의 식들에 대입해주면, 최종적으로 식 (ㄱ), (ㄴ) 이 나옵니다. 이 (ㄱ), (ㄴ) 을 연립하여 더해주면

우리가 몰랐던 물체 A의 질량을 구할 수 있습니다.