평행판 사이에서 움직이는 전하

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안녕하세요, 설군입니다.

다음 그림의 상황과 같이, 어떤 평행판 사이에 전기장이 균일하게 펼쳐진 상황에서, A점에 양전하가 놓여있는 것을 생각해봅시다.

이 때 양전하는 양성자라고 생각해봅시다. 즉 양성자의 전하량은 $q = 1.6 \times 10^{-19}\ \rm{C}$이고, 양성자의 질량은 $m = 1.67 \times 10^{-27}\ \rm{kg}$입니다.

양성자가 처음에 A점에 가만히 놓여 있고 초기 속력이 0이라면, 전기장을 따라 알아서 B점으로 가속 운동 할 거예요. B점에 도달했을 때의 양성자의 속력을 $v_{\rm{B}}$라고 합시다. 이 때 B점에서의 속력을 역학적 에너지 보존 법칙을 이용해 구해봅시다.

전기장이 펼쳐져있을 때, 물체의 총 에너지는 물체가 가진 운동 에너지와 전기 퍼텐셜 에너지의 합입니다. 이 총 에너지가 외력이 없을 때에(전기장만 있을 때에) 보존됩니다.

양성자가 처음 가지고 있던 총 에너지는 운동 에너지 + 퍼텐셜 에너지 이므로 어떤 값이 있었을 텐데
B지점에서의 총 에너지는 역시 운동 에너지 + 퍼텐셜 에너지일 테고, 이 총 에너지의 차이는 0이어야 합니다. 총 에너지는 항상 일정(에너지 보존)해야 하니까요. 그래서 이를 식으로 쓰면

$$ \Delta E_{\rm{K}} + \Delta U_{\rm{E}} = 0 $$

이 됩니다. 총 에너지가 일정하다는 말은, 에너지의 변화량이 0이라는 말입니다. 그런데 이 와중에 처음 운동 에너지는 0이므로 B점에서의 운동 에너지가 바로 곧 운동 에너지의 변화량과 같습니다.

B점에서의 속력을 알고 싶다면 B점에서의 운동 에너지를 알면 되므로, 운동 에너지의 변화량을 구하면 됩니다. 그러려면 전기 퍼텐셜 에너지의 변화량을 구하면 됩니다.

$$ \frac{1}{2} mv_{\rm{B}}^2 - 0 + e \Delta V = 0 $$

이렇게 식을 세울 수 있습니다.

따라서

$$ v_{\rm{B}} = \sqrt{\frac{-2e \Delta V}{m}}= \sqrt{frac{-2e (-Ed)}{m}} = \sqrt{\frac{2eEd}{m}} $$

이 됩니다. 이 때 평행판 축전기 사이 전기장을 균일하게 펼쳐져 있으므로 퍼텐셜 차이 $\Delta V$와 그 사이 간격 $d$, 그리고 전기장의 세기 $E$와의 관계식은 $ \Delta V = Ed$ 로 외워놓으면 편합니다.

이를 이용하고, 물리량들을 대입해줍시다. 전기장의 세기를 $E = 8.0 \times 10^{4} \ \rm{V/m}$, 거리 $d = 0.5 \ \rm{m}$라고 하고 대입해주면

$$ v_{\rm{B}} = \sqrt {\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 8.0 \times 10^4 \times 0.5}{1.67 \times 10^{-27}}} = 2.8 \times 10^6 \ \rm{m/s} $$

가 됩니다.