홀 효과(Hall effect)와 양공 개념의 완벽한 이해 (일반물리학 수준)

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안녕하세요, 설군입니다.

홀 효과에 대해서 공부하고 나서, 양공이라는 개념을 접하고 나면, 사람마다 다르겠지만 양공이라는 개념이 오히려 더 헷갈리는 경우가 있습니다. 제가 헷갈렸던 내용을 좀 정리해보기 위해서 글을 남겨봅니다.

* 전류

전류라는 건 전하의 흐름입니다. 다음과 같이 정의됩니다.

$$ \rm{(전류)} = \frac{\rm{(전하량)}}{\rm{(시간)} \cdot \rm{(단위 면적)}} $$

전류 밀도(부피 전류 밀도)라는 물리량은 다음과 같이 정의됩니다. 단위 면적당 흐르는 전류를 말하는 것이죠. 이 때 전류의 방향은 양전하가 흐르는 방향으로 정의합니다. 만약 전자가 흐른다면 전자가 흐르는 것과 반대 방향으로 전류가 흐르는 상황이라고 생각하면 됩니다.

$$ \vec{J} = \frac{\vec{I}}{A} $$

양전하가 흐르는 방향을 우리는 전류의 방향이라고 정했고, 만약 양전하가 오른쪽으로 흐르는 상황이라면 우리는 그것을 오른쪽으로 전류가 흐른다고 말하고, 만약 음전하가 오른쪽으로 흐르는 상황이라면 우리는 그것을 왼쪽으로 전류가 흐른다고 말하기로 약속한 것입니다.

* 로런츠 힘

전하가 움직일 때, 그 전하가 자기장 속에 있으면 전하의 운동 방향과 자기장의 방향에 동시에 수직인 방향으로 자기력을 받습니다.

$$ \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} $$

의 식과 같이, 전하량 $q$의 부호에 따라 힘의 방향에도 영향을 주고, 전하가 움직이는 속도 $\vec{v}$와 자기장 $\vec{B}$의 외적도 힘의 방향과 크기를 결정합니다. 로런츠 힘의 방향을 쉽게 결정하는 방법은, 제가 주로 쓰는 방법은 오른 손바닥 법칙입니다.

위의 그림과 같이 음전하를 띤 입자가 처음에 $\vec{v}$의 속도로 $+x$방향으로 움직이고 있을 때, 자기장이 $+z$방향으로 $\vec{B}$가 펼쳐져 있는 곳에 들어가면 이 음전하는 자기장으로부터 자기력을 어느 방향으로 받아서 경로가 휘어질지를 생각해봅시다.

오른 손바닥을 펼친 후, 네 손가락은 자기장의 방향으로 두고, 엄지 손가락은 양전하의 이동 방향으로 둡니다. 그러면 네 손가락은 $+z$축을 향하게 두게 될 것이고, 엄지 손가락은 $-x$축 방향으로 향하게 될것입니다. 양전하의 이동 방향으로 엄지 손가락을 둔다는 것은 음전하의 이동 반대 방향으로 엄지 손가락을 두라는 거예요. 그렇게 되면 오른 손바닥은 $+y$방향을 향하게 됩니다. 오른 손바닥의 방향이 바로 위의 상황에서 음전하가 받는 자기력의 방향입니다. 이대로 음전하가 자기장이 펼쳐진 영역 안에서만 운동한다고 치면, 그 음전하는 속력을 $v$로 유지한 채 원운동을 하게 됩니다. 이번 글에서는 원운동을 한다는 사실까지는 알지 못해도 되고, 전하의 경로가 자기장 속에서 휠 수 있다는 사실을 알면 글을 이해하시는 데 무리가 없습니다.

이번에는 양전하에 대해서도 똑같이 생각해보세요. 윗 방향으로 오른손의 네 손가락을 두고 양전하의 이동 방향으로 엄지 손가락을 두고, 오른손 손바닥이 향하는 방향이 바로 양전하가 자기력을 받는 방향입니다.

* 홀 효과

어떤 시료가 다음과 같이 있을 때, 전기장을 $x$방향으로 크기가 $E_x$만큼 걸어준다면, 그 시료에는 전기장의 방향과 동일한 방향으로 전류가 흐릅니다.

이 시료에서 전류를 흐르게 하는 전하가 양전하인지 음전하인지에 관계 없이, 내가 걸어준 전기장의 방향으로 시료에 전류가 흐르고 우리는 그것을 측정할 수 있습니다.
만약 양전하가 전류를 흐르게 하는 요인이라면, 내가 걸어준 전기장과 동일한 방향으로 흐를 것이고, 따라서 전류의 방향도 동일한 방향일 것입니다.
만약 음전하가 전류를 흐르게 하는 요인이라면, 내가 걸어준 전기장과 반대 방향으로 음전하들이 흐를 것이고, 그것의 반대 방향이 전류의 정의이므로 내가 걸어준 전기장과 같은 방향으로 전류가 측정됩니다.

그런데 이번에는 자기장을 $+z$방향 $B_z$만큼 걸어 주고, 똑같이 전기장을 걸어준 상황이라고 합시다.

이 경우에는 전류를 흐르게 하는 요인이었던 양전하 또는 음전하들이 자기장에 의해 자기력을 받으며 경로가 휠 것입니다. 경로가 휘다 보면 시료의 끝에 몰리는 경우가 있을 것이고 그렇다면 다음과 같이 될것입니다. 편의상 양전하가 전류를 흐르게 하는 요인들이라고 합시다.

시간이 지나면 양전하들을 자기력을 받아 한쪽으로 많이 몰릴것입니다. (여전히 $E_x$를 걸어준 상태이고 $B_z$도 걸어준 상태입니다)
이 경우에는 양전하들이 몰린 반대편은 상대적으로 음전하를 띠게 될 테니까, 시료 자체가 전기장을 만듭니다. 이 경우는 $+y$방향 전기장을 만들것입니다.

따라서 이런 상황이 된다면 전류를 흐르는 요인이었던 양전하들은 또 전기장 $E_y$도 받습니다. 양전하들이 받는 힘은 지금 $x, y$방향 모두 다 있습니다. 따라서 $x, y$방향에 대해 성분을 나누어 각각 양전하가 받는 운동 방정식을 세울 수 있는데, 운동 방정식을 세우고 나면 홀 효과에서의 결론인 홀 계수를 최종적으로 구할 수 있습니다.

그런데, 이런 상황이 오래 지속되어 양전하들이 쌓일 대로 쌓였다면, $E_y$가 점점 커질것입니다. 양전하들이 쌓인 이유가 뭐였죠? 자기장에 의해 양전하들이 $-y$방향으로 자기력을 받았기 때문입니다. 즉 그림상에서 $-y$방향으로 휘었기 때문에 쌓였던 것인데, 점점 많이 쌓이다보니 전기장이 $+y$방향으로 생깁니다. 즉 자기력의 반대방향으로, 더이상 양전하들이 못 쌓이도록 전기장이 생성됩니다!
이렇게 전기장이 강해져서, 아예 양전하들이 못 쌓일 지경까지 된 상태를 평형 상태라고 하고, 이 상황에서는 양전하는 $+y$방향으로 받는 전기력과 $-y$방향으로 받는 전기력의 세기가 정확하게 같고 방향이 반대이므로, $y$방향으로는 더이상 흐르지 않습니다. 이런 평형 상태에서 다음과 같은 물리량을 정의할 수 있습니다. (이런 평형 상태에 도달하면 실험에서 비로소 측정할 수 있는 안정화된 상태가 되었기 때문에 이런 상황을 생각하면 좋습니다)

$$ R_{\rm{H}} = \frac{E_y}{J_x B_z} $$

$R_{\rm{H}}$라는 홀 계수는, 분자에는 $y$방향으로 전하들이 쌓였기에 생긴 전기장을 대입해주고, 분모에는 내가 측정한 $x$방향 전류와 자기장의 세기를 대입해주면 구할 수 있습니다. 여기서 중요한건 $E_y$와 $J_x$는 방향이 반대가 되면 부호가 반대가 될 수 있습니다. 그러나 자기장은 보통 항상 $+z$를 향하게 둡니다.

* 전류의 요인에 따른 홀 계수의 부호

홀 계수 를 다시 써보면 다음과 같습니다.

$$ R_{\rm{H}} = \frac{E_y}{J_x B_z} $$

다음과 같은 두 가지 상황을 생각해볼 수 있을것입니다.

(가), (나) 상황 모두 자기장의 방향은 $+z$방향이고, 같은 크기로 걸어준 상황이고, 두 상황 모두 내가 전기장을 $+x$방향으로 같은 크기로 걸어준 상황입니다.
(가)의 경우에는 시료에서 전류를 만드는 요인들이 양전하인 상황이고, 따라서 실제로 양전하들의 속도 방향이 $+x$방향입니다. 그러므로 자기력을 받아 아래에 쌓이게 됩니다. 따라서 $y$방향으로 시료 자체에 생기는 전기장은 $+y$방향이 됩니다.
(나)의 경우에는 시료에서 전류를 만드는 요인들이 음전하인 상황이고, 따라서 실제로 음전하들의 속도 방향은 $-x$방향입니다. 그래도 (가)의 상황과 전류의 방향은 똑같습니다. 어쨌든, 이들도 자기력을 받아 아래에 쌓이게 됩니다. 그런데 이때 시료 자체에 생기는 전기장은 $-y$방향이 됩니다.

따라서 (가), (나)의 경우 홀 계수를 계산할 때 분자의 부호가 달라집니다. 이를 통해 홀 계수의 부호를 측정해서 그 시료에 실제로 어떤 부호의 전하가 전류를 만드는 요인인지 알 수 있습니다.

* 양공 개념

양공이라는 반도체를 공부할 때 자주 등장하는데, 양공은 이렇게 생각하면 됩니다. 전자들이 전류를 만드는 요인이었던 물질에 모종의 이유로 빈 공간들이 생기면 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 이 빈 공간은 그냥 말 그대로 빈 공간이라고 생각하면 됩니다. 그런데 빈 공간들은 숫자가 아주 적고, 이 물질의 전류 만드는 전하들은 대부분이 원래대로 음전하로 가득합니다.

그렇다면 우리가 했던 대로, $+x$방향으로 전기장을 걸어주면, 저 뭉텅이 전체가 $-x$방향으로 이동한다고 생각하시면 됩니다. 전자 하나 하나가 $-x$방향으로 이동해서 빈 자리를 메꾸는 게 아니라, 전자 전체가 동시에 $-x$방향으로 이동하여 동시에 자리를 메꾸기 때문에, 전체 뭉텅이가 $-x$방향으로 움직인다고 생각하는 것과 같습니다. 이런 상황에서도 역시 전류는 $+x$방향으로 측정될 것입니다.

그렇다면 자기장이 걸린 상황에서 쌓이는걸 생각해봅시다. 저 뭉텅이가 모두 아래로 쌓이게 됩니다.

물질은 원래 음전하가 많이 있었으므로, 윗면은 음전하들이 많아서 상대적으로 음전하를 띠고 있고, 아랫면은 구멍이 많아서 상대적으로 양전하를 띠게 됩니다. 따라서 이 상황은 정확하게

이런 상황으로 생각할 수 있습니다. 홀 효과를 계산할 때 분자에 대입하는 전기장이 $+E_y$가 되는 결과를 얻었습니다.
어! 그런데 이 결과는 아까 생각했던 (가)의 상황과 동일합니다. (가)의 상황은 물질에서 전류를 만드는 요인이 실제로 양전하라고 놓고 생각한 상황이었죠.
어? 우리는 분명히 음전하가 주로 전류를 만드는 요인인 물질을 생각했었는데, 마치 양전하가 주로 전류를 만드는 요인인 것과 같은 결과가 나왔습니다. 이것이 바로 양공의 효과입니다.

양공을 이제 진짜 입자처럼 생각하려면 다음과 같이 생각하면 됩니다. 전하는 양전하를 띠며, 질량이 음수인 입자라고 생각하면

전기장을 $+x$방향으로 걸어주었을 때, 전기장과 같은 방향으로 전기력을 받지만, 질량이 음수이기 때문에 $-x$방향으로 이동할 것이므로 전류는 $-x$방향으로 생길것입니다. 그리고 자기력을 생각해보면, 이동하는 방향과 자기장의 방향을 따르면 힘을 $+y$방향으로 받을 텐데, 질량이 음수이기 때문에 $-y$방향에 쌓일 것입니다. 이 결과는 위의 것과 동일한 결과를 줍니다.