일정한 전기장 속에서 전기 퍼텐셜의 차이

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안녕하세요, 설군입니다.

이전 글에서 전기 퍼텐셜 에너지, 전기 퍼텐셜, 전기 퍼텐셜의 차이 개념에 대해서 다루었습니다.
이번 글에서는 일정한 전기장이 펼쳐진 곳에서 전기 퍼텐셜의 차이를 직접 구해보며 익숙해져봅시다.

다음과 같이 전기장이 오른쪽 방향으로 펼쳐진 공간 안에(파란 화살표)

전하량이 $q>0$인 양전하가 A점에 놓여 있었는데 이 양전하를 B점으로 옮기는 상황입니다. 이 때 두 가지를 생각해볼 수 있습니다.

1. 양전하의 퍼텐셜 에너지 차이
2. A점과 B점 사이의 퍼텐셜 차이

퍼텐셜 이라는 건 전하가 가지는 게 아니라, 장이 펼쳐진 곳의 임의의 위치가 가지는 것입니다.
퍼텐셜 에너지 라는 걸 전하가 가지는 거죠. 전하가 퍼텐셜을 가지는 게 아니라, 퍼텐셜 에너지를 가진다.

양전하의 퍼텐셜 에너지 차이를 구하려면 이렇게 구하면 됩니다. 내가 A점에서 B점까지 전하를 일정한 속력으로 옮기기 위해 전기장에 거슬러서 해 준 일. 따라서 양전하의 퍼텐셜 에너지 차이는

$$ \Delta U_{\rm{E}} = \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} (-qE) \cdot ds = -qEd $$

가 됩니다. 원래는 일을 구하기 위해서 힘 벡터와 변위 벡터를 내적하여 적분해줘야 하는데, 이 상황은 일차원적인 상황이므로 내적이 그냥 단순한 곱으로 표현될 수 있어서 그렇게 표현하였습니다.
퍼텐셜 에너지의 차이가 음수라는 말은, $\Delta U_{\rm{E}} = U_{\rm{B}} - U_{\rm{A}} = -qEd$라는 말이므로, A점에서의 전하의 퍼텐셜 에너지는 높고, B점에서의 전하의 퍼텐셜 에너지는 낮다는 의미입니다. 즉 전하는 이동하며 퍼텐셜 에너지가 감소했습니다.

그리고 A점과 B점 사이의 퍼텐셜 차이는, 그냥 전기장에 마이너스 부호를 붙이고, 거리로 적분해주는 것이 그 정의이므로,

$$ Delta V =-  \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} E \cdot ds = -Ed $$

가 됩니다. 퍼텐셜 차이가 음수라는 말은, $\Delta V = V_{\rm{B}} - V_{\rm{A}} = -Ed$라는 말이므로, A점의 퍼텐셜은 높고, B점의 퍼텐셜은 낮다는 이야기입니다.

이런 상황을 생각해봅시다. 양전하를 만일 A점에 가만히 둔다면, 알아서 전기장을 받아서 B점까지 이동할 거예요. 그런데 위에서 구한 퍼텐셜 에너지를 생각해보면, A점에서 양전하가 가지던 퍼텐셜 에너지는 높고, B점에서 양전하가 가지던 퍼텐셜 에너지는 낮습니다.
여기서 알 수 있는 사실은, 가만히 두었을 때에 그 전하는 알아서 퍼텐셜 에너지가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동한다는 것입니다!

마치 중력에서의 상황과 같습니다. 물체를 높은 곳에 올려두고 손을 떼면 알아서 바닥으로 떨어집니다. 이것도 물체가 알아서 퍼텐셜 에너지가 높은 곳에서부터 퍼텐셜 에너지가 낮은 곳으로 이동하기 때문입니다. 이 원리만 알면 전기 퍼텐셜 에너지나 전기 퍼텐셜 개념에서도 쉽게 접근할 수 있습니다.

이번에는 같은 전기장에서 음전하를 놓고 똑같이 생각해봅시다.

이번에는 계산 먼저 하지 말고, 생각을 먼저 해 봅시다. A점에 가만히 음전하를 두면 알아서 어디로 갈까요? 음전하는 전기장의 반대 방향으로 이동하니까 B로 가지 않고 A점에서 왼쪽으로 갈 거예요. 그 말은, A점에서의 음전하의 퍼텐셜 에너지가 높다면, 그것보다 낮은 곳으로 알아서 가려면 A점의 왼쪽 구역에서 음전하의 퍼텐셜 에너지가 낮아진다는 것이죠. 이걸 다시 이야기하면 B점에서의 음전하의 퍼텐셜 에너지는 A점보다 높다는 이야기입니다!

그럼 이걸 계산해봐서 정말 그런지 알아봅시다.
A점에서 B점까지 내가 음전하를 일정한 속력으로 옮기기 위해 내가 전기장에 거슬러서 해 준 일은? 퍼텐셜 에너지의 변화량 이므로,
$$ \Delta U_{\rm{E}} = - \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} (-qE) \cdot ds = qEd $$

가 됩니다. 즉 $U_{\rm{B}}  -U_{\rm{A}} = qEd$라는 말이므로, B점에서 음전하가 가지는 퍼텐셜 에너지가 더 크다는 말입니다! 맞네요. 그런데 퍼텐셜은?

$$ \Delta V = \frac{\Delta U_{\rm{E}}}{-q} = -Ed $$

가 됩니다. 이것도 해석해보면 A점의 퍼텐셜은 낮고, B점의 퍼텐셜은 높다는 이야기가 됩니다.

양전하의 상황과 음전하의 상황에서의 퍼텐셜 에너지 변화와, 퍼텐셜 변화가 어떤지를 비교해봅시다.
양전하의 상황에서 A에서 B로 갈수록 양전하는 퍼텐셜 에너지가 감소했습니다. 양전하가 전기장을 따라 스스로 이동한다는 개념과 잘 일치하므로 퍼텐셜 에너지가 감소하는건 잘 들어맞습니다. 그리고 장의 임의의 위치에서의 값인 퍼텐셜도 A점에서 B점으로 갈수록 작아졌습니다.
음전하의 상황에서 A에서 B로 갈수록 음전하는 퍼텐셜 에너지가 증가했습니다. 음전하를 가만히 두면 왼쪽으로 가야되는데, 지금 오른쪽으로 가는 상황을 생각했으니까 퍼텐셜 에너지가 증가한다는게, 개념과 잘 일치합니다. 그리고 장의 임의의 위치에서의 값인 퍼텐셜은 A점에서 B점으로 갈수록 작아집니다.

퍼텐셜이라는 개념은 장이 가지는 성질입니다. 그래서 내가 무슨 종류의 전하를 두더라도 그 장이 가지는 성질을 변하지 않아요. 장이 펼쳐져 있을 때 임의의 위치에서 그 장의 퍼텐셜 값은 당연히 같아요.
그런데, 퍼텐셜 에너지라는 개념은 내가 보고자 하는 전하가 어떤 장에 놓여있을 때, 그 전하가 가지는 성질입니다. 그래서 전하의 종류가 바뀌면 퍼텐셜 에너지가 바뀝니다. 이 개념이 가장 중요한 차이입니다.
* 퍼텐셜 에너지, 퍼텐셜 모두 전하의 운동이 어떻냐를 의미하는 게 아니라, 전하가 어느 위치에 있을 때 어떤 에너지를 가지냐, 또는 장의 어느 위치에서 퍼텐셜이 몇이냐 를 의미합니다. 전하가 가속해서 그곳에 도달했는지, 어떤 경로로 그곳에 도달했는지는 결과적으로는 상관이 없습니다. 어떤 위치에서 이 물리량을 가진다 라고 말하는 게 바로 퍼텐셜 에너지와 퍼텐셜 이라는 개념입니다!
* 그러므로 전하가 어떤 속력으로 이동하더라도 퍼텐셜 에너지의 변화 값이 달라지진 않습니다.
* 퍼텐셜 에너지를 구할 때 내가 전하를 등속력으로 움직여주기 위해서 전기장에 거슬러서 해준 일 이라고 설명한 건, 내가 가해준 힘이 전기력에 마이너스 부호를 붙인것과 같다는 것을 설명하기 위해 한 것입니다. 전하가 등속으로 움직여야만 퍼텐셜 에너지를 구한다거나, 등속으로 움직일 때랑 가속할 때랑 퍼텐셜 에너지를 구하는 방식이 다르다거나 하는 게 아닙니다. 퍼텐셜 에너지는 위치에 관련된 값이라서, 전하를 끌어주는 경로와 전기장만 알면 그걸 적분해주면 됩니다. 전하의 속도랑은 관계가 없어요.

TMI: 물리학과의 고학년 수업에서는 퍼텐셜 에너지라는 용어와 퍼텐셜 이라는 용어를 엄밀하게 사용하지 않고 결국은 퍼텐셜 에너지도 퍼텐셜이라고 그냥 부릅니다.

정리하자면 이렇게 됩니다. (퍼텐셜, 퍼텐셜 에너지가 크냐 작냐는 지금 상대적으로 A점과 B점에 대해 이야기하는 것입니다)

이번에는 똑같이 펼쳐진 전기장에서 양전하를 다음 그림과 같이 대각선 방향으로 끌어 옮기는 상황을 생각해봅시다.

이 때 이동한 변위 벡터를 $\vec{s}$라고 하고, 전기장과 이루는 각도가 $\theta$라고 합시다.
A점에서 B점까지 대각선 경로로 이동하였을 때 전하가 가지는 퍼텐셜 에너지의 차이를 구해봅시다.

$$ \Delta U_{\rm{E}} = - \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} q \vec{E} \cdot d\vec{s} = - \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} q E \cos(\theta) ds = qEd $$

가 됩니다. 대각선 경로를 따르더라도, 전기장의 방향과 내적을 취해주어야 하기 때문에 코사인 성분이 결과가 되므로, 결국 A점에서 B점까지 대각선 경로를 이동하더라도 전하의 퍼텐셜 에너지 차이는 $qEd$입니다.

장이 가지는 성질인 퍼텐셜 차이도 구해보면 동일합니다. A점과 C점 사이의 퍼텐셜 차이가 $qEd$였는데, A점과 B점 사이의 퍼텐셜 차이도 $qEd$입니다. 이렇게 같은 이유는 지금 전기장이 오른쪽 방향으로 균일하게 펼쳐져있기 때문입니다.

전기장이 펼쳐져있을 때, 같은 퍼텐셜을 가지는 점들을 모두 연결하여 표현할 수 있는데, 그렇게 하면 위의 그림과 같이 전기장에 수직인 선 또는 면(공간 상에서)으로 그려집니다. 이 면을 등전위면 이라고 하고, 퍼텐셜이 같은 면 이라는 의미입니다. 영어로는 Equipotential surface라고 합니다.