전기 퍼텐셜과 전위차, 그리고 퍼텐셜 에너지

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안녕하세요, 설군입니다.

전기 퍼텐셜, 전위차(전기 퍼텐셜 차이), 전기 퍼텐셜 에너지 라는 개념에 대해서 알아봅시다.
퍼텐셜과 퍼텐셜 에너지는 다릅니다.

먼저 전기 퍼텐셜 에너지에 대해서 알아봅시다.
중력이 펼쳐진 공간에서 물체가 어떤 높이에 있을 때, 그 물체는 중력 퍼텐셜 에너지를 가진다고 말합니다.
마찬가지로, 전기장이 펼쳐진 공간에서 전하를 띤 물체가 어느 위치에 있을 때, 그 물체는 전기 퍼텐셜 에너지를 가진다고 말합니다.

중력 퍼텐셜 에너지의 정의는

$$ U = mgh $$

라는 것을 잘 아실거예요. 이것은 사실 다음과 같이 정의된 것입니다.

중력 퍼텐셜 에너지 = 물체를 바닥에서부터 $h$높이까지 등속으로 옮기기 위해 내가 중력에 거슬러서 해준 일

입니다. 다음과 같은 상황을 생각해봅시다.

중력 가속도가 $g$인 공간에, 바닥에 질량이 $m$인 물체가 놓여 있고, 그 물체를 속력이 일정하게 유지되도록 $h$높이까지 끌어올리는 상황이라고 생각해봅시다.
속력이 일정하게 유지되도록 하기 위해서는 물체가 받는 알짜힘이 0이 되도록 내가 힘을 가해줘야 합니다. 그런데 물체는 이미 아래 방향으로 중력 $mg$를 받고 있으므로, 그것을 상쇄시켜주기 위해 나는 $+mg$의 힘을 가해줘야 하는 것이죠.
그렇다면 이 때 내가 중력에 반해서 물체에게 가해준 힘은 $+mg$입니다.

그렇다면 이 상황에서 내가 한 일은?

$$ W = F \cdot s = +mg \cdot h = mgh $$

가 됩니다. 다시 말해서, 내가 물체를 등속으로 높이 $h$만큼 올려주기 위해 중력에 거슬러서 해준 일이 $mgh$인 거예요.
이것을 우리는 중력 퍼텐셜 에너지라고 부릅니다. 내가 중력에 거슬러서 일을 해줬기 때문에 물체에 (마치) 저장된 에너지인 것이죠.
정확히 말해서는, 물체가 바닥에 있을 때의 퍼텐셜 에너지가 있다면, 나는 그것에 $mgh$만큼의 퍼텐셜 에너지를 더해준 것이예요.
높이 $h$에서의 물체의 중력 퍼텐셜 에너지는, 바닥에 있을 때의 퍼텐셜 에너지보다 $mgh$만큼 높다는 것이죠. 그래서 퍼텐셜 에너지를 말할 때에는 물체의 위치가 A에서 B로 바뀌었을 때 추가된 퍼텐셜 에너지, 즉 퍼텐셜 에너지의 변화량을 주로 이야기합니다.

전기 퍼텐셜 에너지도 완벽하게 똑같은 개념으로 퍼텐셜 에너지를 정의합니다.

전기장이 펼쳐져 있는 공간에서 전하가 하나 있을 때, 그 전하를 속력이 일정하게 가만히 끌고 오며 일을 해주는 상황을 생각해봅시다.
속력이 일정하게 가만히 끌고 오기 위해서는, 그 전하에 가해지는 알짜힘이 0이도록 끌고 와야 합니다. 그런데 그 전하는 전기장에 놓여있으므로 내가 그 전하에게 가해야 하는 힘은 정확하게 그 전하가 전기장으로부터 받는 힘과 크기가 같고 반대인 힘입니다.

중력의 상황처럼 직선으로 끌어옮기는 상황이 아니라, 일반적인 곡선 경로로 끌어 옮기는 상황을 생각해봅시다.
그림과 같이 전기장이 한 선으로 표현된 상황에서, 내가 이 전하를 임의의 위치 A에서 B로 움직이는 상황을 생각해봅시다.
편의상 선의 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 (선을 따라) 움직인다고 할 때에, 이 전하 $q$는 전기장 $\vec{E}$로부터 전기력을 전기장 방향으로 받으므로, 내가 이 전하가 알짜힘이 0이 되도록 주어야 하는 힘은 $\vec{F}_{\rm{S}} = -q \vec{E}$입니다. 정확하게 전기력과 같은 크기에 반대 방향이어야 하죠.

내가 힘을 매 순간순간 그렇게 주어야만 이 전하의 속력이 일정하도록 끌고 올 수 있어요.
그렇다면 이때 내가 전하에게 해 준 일은 얼마나 될까요? 적분 식으로 표현하면 이렇습니다.

$$ W_{\rm{S}} = \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} \vec{F}_{\rm{S}} \cdot d\vec{s} $$

내가 전하를 A점으로부터 B점까지 경로를 따라 해준 일은, 내가 매 경로마다 가하는 힘 벡터와 경로 벡터의 내적을 취해 모조리 적분해주면 됩니다. 그런데 내가 가하는 힘은 이미 위에서 구했으므로, 전하량과 전기장으로 표현하면

$$ W_{\rm{S}} = \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} (-q\vec{E}) \cdot d\vec{s} $$

이 됩니다. 이것이 바로 추가된 퍼텐셜 에너지인 것이죠. B 위치에서의 전하의 전기 퍼텐셜 에너지는 A 위치에서의 전하의 전기 퍼텐셜 에너지에 $W_{\rm{S}}$ 만큼을 추가한 것과 같다! 만약 $q, E$가 모두 양수라면, 우리라 계산한 결과는 마이너스 부호가 붙어 있으므로, 퍼텐셜 에너지는 A에서 B로 가면서 점점 줄어든다는 의미입니다.
위의 그림에서 B 위치에서의 퍼텐셜 에너지가 A 위치에서의 퍼텐셜 에너지보다 낮다! 이 사실을 기억하세요.

그렇다면 전기 퍼텐셜 에너지 말고, 전기 퍼텐셜은 뭐가 다를까요? 다름이 아니라, 지금까지 한 모든 퍼텐셜 에너지의 계산에서, 퍼텐셜 에너지를 내가 옮기는 전하의 전하량으로 나누어준 것을 말합니다.

그래서 A 위치에서 B 위치로 갈 때 전기 퍼텐셜의 변화량은

$$ V_{\rm{S}} = \frac{1}{q} \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} (-q \vec{E}) \cdot d\vec{s} = - \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} \vec{E} \cdot d\vec{s} $$

이 됩니다. 이렇게 전기 퍼텐셜의 변화량을 전위차 라고도 합니다. A 위치에서 B 위치로 가면서 추가된 전기 퍼텐셜 에너지는, A 위치와 B 위치에서의 전기 퍼텐셜 에너지의 변화량과 같습니다. 마찬가지로 추가된 전기 퍼텐셜도, 전기 퍼텐셜 변화량과 같습니다. 그래서 각각

$$ \begin{split} W_{\rm{S}} \rightarrow & \Delta U_{\rm{E}} \\ V_{\rm{S}} \rightarrow & \Delta V \end{split} $$

로 표현합니다. 정리하자면,

$$ \begin{split} \Delta U_{\rm{E}} = & - q \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} \vec{E} \cdot d\vec{s} \\ \Delta V = &\frac{\Delta U_{\rm{E}}}{q} = - \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} \vec{E} \cdot d\vec{s} \end{split} $$

이 됩니다.