구멍 뚫린 구 내부의 전하

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안녕하세요, 설군입니다.

다음 그림과 같이 부피 전하 밀도가 $\rho$로 균일하게 대전된 구가 있고, 반지름이 $2R$이라고 할 때, 반지름 $R$인 구 모양 구멍이 생긴 경우를 생각해봅시다.

이때 구멍 내부에서의 전기장은

$x$방향 전기장 성분은 없고, 오직 $y$방향 전기장 성분만 $E_y = \frac{\rho R}{3\varepsilon_0}$입니다. 이것을 보이는 것이 문제입니다.

이 문제는 마치 가우스 법칙을 적용할 수 없을것 같이 생겼지만, 신기하게도 적용할 수 있습니다. 다음 그림을 이해하시면 문제를 다 푼 거나 다름없습니다.

문제의 전하 분포는 다음과 같이 두 전하의 합으로 나타낼 수 있어요. (그림을 이제부터는 평면처럼 그리겠지만, 구 라고 생각해주세요)

균일한 양전하 분포에 구멍이 뚫린 것은, 꽉 차있는 양전하 분포와 꽉 차있는 음전하 분포를 합친 것과 같다는 말입니다. 이것이 문제의 상황과 일치합니다!

그리고 우리가 보여야 할 것은, 문제의 상황에서 구멍 내에서의 전기장이 $x$성분이 없고, $y$성분만 있고 그것이 일정하다는 것이므로, 결국엔 구멍 내에서의 전기장을 구해야합니다.
구멍 내에서 전기장을 구할 때에는, 속이 꽉 찼다고 생각했을 때의 파란색 전하가 구멍의 임의의 위치에 만드는 전기장을 구하고, 빨간색 전하가 구멍의 임의의 위치에 만드는 전기장을 구해서 그 둘을 더해주면 문제에서의 상황과 일치하게 됩니다.

그럼 먼저 (가)의 상황을 살펴봅시다. (가)의 상황에서 구멍 위치에 있는 곳에서의 전기장을 구한다는 것은 다음 그림과 같은 상황입니다.

이 때 하얀색으로 반투명하게 그린 부분은, (가)에서는 구멍이 아니라 전부 다 차 있는 부분입니다. 어쨌든, 원점으로부터 $r$지점에서의 완전히 차 있는 파란 구가 만드는 전기장을 구해봅시다. 원점을 기준으로 반지름 $r$의 가우스 곡면을 구 모양으로 잡는다면,
내가 잡은 가우스 곡면 내에 있는 전하량은 $Q = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$이므로, 가우스 법칙은

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{\sum Q}{\varepsilon_0} = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3}{\varepsilon_0}$$

가 됩니다. 이는

$$ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3}{\varepsilon_0} $$

가 되고, 따라서 $r$위치에서의 꽉찬 파란 구가 만드는 전기장은

$$ \vec{E }= \frac{\rho}{3\varepsilon_0} r \hat{r}$$

이 됩니다. 방향은 쉽게 알 수 있죠?
이번에는 빨간 구 전하가, 동일한 위치에 만드는 전기장도 구해야 합니다.
그렇게 하기 위해서는 빨간 구를 중심으로 하는 가우스 곡면을 잡는게 좋습니다.

이를 구하기 위해서 두 개의 벡터를 정합니다. 원점으로부터 구멍의 중심까지의 벡터를 $\vec{R}$, 그리고 그 구멍의 중심으로부터 내가 앞으로 잡을 구 모양 가우스 곡면(구 모양 가우스 곡면의 반지름도 $s$라고 합시다)까지의 벡터를 $\vec{s}$라고 합시다. $\vec{R}$은 고정된 상수 벡터이고, $\vec{s}$는 시점만 고정되어 있고, 종점이 마구마구 변하고 길이도 변하고 방향도 변할 수 있는, 대신 범위가 구멍 안으로 제한되어 있는 그런 벡터입니다. 왜냐하면 가우스 곡면의 반지름 $s$는 변수니까요.

구멍 내의 전기장은 꽉 차 있는 파란 구와 빨간 구가 만드는 전기장의 합이 될 것이라는 사실을 기억하세요.
이제 빨간 구가 $\vec{r} = \vec{R} + \vec{s}$지점에 만드는 전기장을 구해봅시다. 즉 빨간 구의 중심으로부터 $\vec{s}$위치에 만드는 전기장을 구해봅시다.

앞서 구한 것과 같은 방법으로 빨간색 전하가 그 위치에 만드는 전기장을 구하면, 내가 잡은 반지름 $s$인 가우스 곡면 내부의 전하량은

$$ Q = - \rho \frac{4}{3} \pi s^3 $$

이 됩니다. 따라서 가우스 법칙을 적용하면,

$$ E \cdot 4 \pi s^2 = - \frac{\rho \frac{4}{3} \pi s^3}{\varepsilon_0} $$

이고,

$$ \vec{E} = - \frac{\rho}{3\varepsilon_0} s \hat{s}$$

가 됩니다. 이를 벡터 관계식 $\vec{r} = \vec{R} + \vec{s}$을 이용하여 바꾸어 써주면, 빨간 전하가 만드는 전기장은

$$ \vec{E} = - \frac{\rho}{3\varepsilon_0} (\vec{r} - \vec{R}) $$

이 됩니다. 따라서, 파란 전하와 빨간 전하가 $\vec{r}$ 지점에 만드는 전기장을 각각 $\vec{E}_1, \vec{E}_2$라고 한다면,

$$ \begin{split} \vec{E}_1(\vec{r})=& \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \vec{r} \\  \vec{E}_2(\vec{r}) =& - \frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r} - \vec{R}) \end{split} $$

따라서 문제에서 물어보는 것으로 정리해주면,

$$ \vec{E}(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \vec{R} $$

이 됩니다. 그런데 우리가 $\vec{R}$은 원점으로부터 윗방향으로 향하는 상수 벡터라고 앞서 정의했었으므로, 전기장은 $y$방향 성분밖에 없다는 것도 알 수 있습니다.

참고로 여기서 $y$축은 유일합니다. 큰 공 안에 공 모양으로 구멍이 뚫려있을 때, 큰 공의 중심과 구멍 공의 중심을 정확하게 지나야 하는 $y$축은 단 하나이기 때문입니다. 따라서 문제에서 $y$성분 전기장만 있는것은 오류가 없어요.