면 전하가 만드는 전기장 (A Plane of Charge)

반응형

안녕하세요, 설군입니다.

다음 그림과 같이 어떤 무한한 면에 전하들이 콕콕콕 박혀있는 면 전하를 생각해봅시다.
이 경우에도 전하량을 이야기하기보다는, 내가 어떤 임의의 면적 $A$를 잡더라도 그곳의 면 전하 밀도가 $\sigma$로 일정하다고 생각하여, 면 전하 밀도를 주로 이야기합니다.

이런 면 전하는 앞뒤로 전기장을 균일하게 만듭니다. 이 면 전하로부터 수직으로 임의의 거리 $l$에 떨어진 곳에서의 전기장을 구하려면, 가우스 곡면을 다음과 같이 잡습니다.

이렇게 원통처럼 잡는데, 평면에 수직으로 꽂은 길다란 원통을 생각하면 됩니다. 이 때 잘 살펴보면, 원통의 뚜껑 방향으로 전기장이 지나가고, 그 뚜껑의 면적 벡터 방향은 원통 밖으로 향하는 방향이고, 이것과 전기장 방향이 나란합니다. 반대 면의 뚜껑에 대해서는 뚜껑의 면적 벡터 방향이 역시 원통 밖으로 향하는 방향인데, 전기장도 그 방향이므로 나란합니다.

면 전하로부터 임의의 거리 $l$까지의 전기장을 생각하기 위해서 원통의 길이를 $2l$로 잡았습니다. 이 때 가우스 법칙을 적용한다는 말은, 내가 잡은 원통 전부를 통과하는 플럭스를 계산한다는 말입니다. 면 전하로부터 예를들어 오른쪽 방향의 플럭스만 계산하는 게 아닙니다. 따라서 양 쪽을 모두 통과하는 플럭스, 즉 뚜껑 두 개를 통과하는 플럭스를 모두 계산해야 합니다.

$$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = EA+EA=2EA= \frac{\sum Q}{\varepsilon_0} $$

가 됩니다. 면 전하가 만드는 전기장은 어차피 뚜껑 방향밖에 없으므로, 내가 잡은 원통형 가우스 곡면을 통과하는 플럭스는 오직 뚜껑 방향 플럭스 밖에 없습니다. 그 뚜껑 방향 플럭스는 하나당 $EA$이므로 두 개를 더해주면 그것이 총 플럭스인 것이죠.

그리고 내가 잡은 가우스 곡면 안에 있는 총 전하량은, 면 전하 밀도를 이용하여 나타내 주면, $Q=\sigma A$가 됩니다. 따라서

$$ 2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \rightarrow E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $$

따라서 어떤 면 전하가 만드는 전기장은, 그 면 전하로부터 수직으로 양쪽으로 뻗어나가는데 어느곳에서나 그 전기장의 크기가 $\sigma/2\varepsilon_0$라는 것입니다. 우리는 분명히 거리를 상정하고 계산했지만, 거리에 관계 없이 면 전하가 만드는 전기장의 크기는 일정합니다!

그렇다면 다음과 같이 동일한 면 전하 밀도이지만 부호만 반대로 대전된 물체를 근처에 놓으면

위와 같이 파란색의 양의 면 전하는 파란색 화살표 방향으로 전기장을 만들 거고, 빨간색은 빨간색 대로 만들거예요. (음전하니까 면 전하로 들어오는 방향으로 전기장이 만들어집니다)
그런데 아까 구한 것처럼, 파란색 면 전하가 만드는 전기장도 거리에 관계 없이 모두 같은 크기이고, 빨간색 전하도 전하 밀도가 같고 부호만 다르다고 했으니 전기장의 크기가 거리에 관계 없이 모두 같을 거예요.

위의 그림에서 구역을 다음과 같이 이름붙여서 생각해봅시다.

구역 1과 3에서는 동일한 세기의 전기장이 방향만 반대이므로 모두 상쇄되어 0입니다. 즉 구역 1과 3에서는 전기장이 없어요.
그런데 구역 2는 동일한 방향의 전기장이 두 개가 겹칩니다. 그래서 아까 구했던 극판 하나의 전기장의 세기가 $E = \sigma / 2\varepsilon$이었는데, 이게 두 배가 되었으므로

최종적으로 이런 결과를 얻을 수 있습니다. 즉 면 전하 밀도가 $\sigma$인 두 극성이 다른 극판을 근처에 두면, 두 극판 사이에는 전기장이 방금 구한 세기로 펼쳐져 있는 것이지요.