막대 전하가 만드는 전기장 (A cylindrically Symmetric Charge Distribution)

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안녕하세요, 설군입니다.

무한히 긴 막대에 전하가 균일하게 분포해있는 상황을 생각해봅시다.
이건 도선이 아니고, 전류가 흐르는 게 아니예요. 막대에 전하가 콕콕콕 박혀 균일하게 분포있는 상황이예요.
무한히 긴 막대 도선일 때에는 전하량이 몇이다 라고 하기보다는, 길이 전하 밀도가 일정하다 라고 합니다. 이 때 길이 전하 밀도는 내가 막대의 임의의 길이 $l$만큼을 잡았을 때, 그 만큼의 전하량이 $Q$이면, $\lambda = Q/l$로 정의됩니다.

이 막대 전하를 위에서 내려다 보면, 그림에서 오른쪽과 같이 전기장을 만들거예요.
이 전하가 만드는 전기장을 가우스 법칙을 이용해 구하려면, 다음과 같이 가우스 곡면을 잡아야 합니다.

전하를 위에서 내려다 보았을 때, 전기장이 원형으로 나가니까, 가우스 곡면도 그것에 맞게 대칭적으로 원형으로 잡아야 하고, 옆에서 보았을 때 길쭉하게 분포해 있으므로 결국 가우스 곡면은 원통형으로 잡아야, 대칭적으로 잡은 게 됩니다.

이 때 길이 전하는 무한히 길다고 하였고, 내가 잡은 원통의 길이는 $l$, 그리고 반지름은 $r$이라고 합시다.
전하가 만드는 전기장을 생각해보았을 때, 가우스 원통을 수직으로 통과하는 방향으로 만들어집니다. 즉 원통을 이루는 어느 부분이라도 미소 면적을 잡았을 때, 그 면적의 수직 벡터 $d\vec{A}$와 그곳을 통과하는 전기장 벡터 $\vec{E}$가 항상 평행합니다. 즉 가우스 법칙에서 적분이 쉬워진다는 의미죠.

따라서 가우스 법칙을 적용해보면,

$$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \oint E \cdot dA = E \cdot 2 \pi r l = \frac{\sum Q}{\varepsilon_0} $$

가 됩니다. 위의 적분 식에서 $dA$를 적분한다는 것은, 전기장이 통과하는 모든 면적을 다 구한다는 것입니다. 그런데 전기장은 원통의 옆면 만을 통과하고 있으므로, 원통의 옆면의 넓이인 $2 \pi r l$이 적분 결과로 나오게 됩니다. 그리고 내가 잡은 가우스 곡면 안의 전하량은 앞에서 정의한 막대의 길이 전하 밀도로 나타낼 수 있습니다. 즉 $Q = \lambda l$ 로 나타낼 수 있습니다.

따라서 정리하면,

$$ E \cdot 2 \pi r l = \frac{\lambda l } {\varepsilon_0 } \rightarrow E = \frac{lambda} {2 \pi \varepsilon _0 r} $$

이 됩니다. 즉 직선 전하로부터 거리 $r$만큼 떨어진 곳에서의 전기장은, 거리의 제곱이 아니라 거리에 반비례 한다는 것이 결론입니다.