속이 찬 공 모양 전하 (A Spherically Symmetric Charge Distribution)

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안녕하세요, 설군입니다.

이전 글에서는 부피가 없는 점전하에 대해서 가우스 법칙을 적용해봤습니다.
이번에는 반지름이 $a$인 공 모양에 전하들이 균일하게 콕콕콕 박혀있고, 속이 완전히 채워진 그런 경우를 생각해봅시다.

위와 같이 점선으로 가우스 곡면을 공 모양으로 잡습니다. 가우스 곡면의 반지름을 $r$로 잡았으므로, 내가 구하고자 하는 건, 속이 꽉 찬 공 모양 전하의 중심으로부터 $r$거리에 떨어진 곳에서 전하가 만드는 전기장 입니다.

$$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$

이 되고, 따라서 거리 $r$에 전하가 만드는 전기장의 세기는

$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} $$

입니다. 지금 우리가 푼 문제는 부피가 있는 전하이지만, 마치 중심에 점전하가 있다고 생각한 것과 같은 결론이 나옵니다.
가우스 법칙에서 전하를 대입할 때, 내가 잡은 가우스 곡면 안에 있는 총 전하량만 대입해주면 되기 때문에 이런 결과가 나온 것이예요.

그렇다면 이번에는 내가 구하고자 하는 전기장의 위치가 공 안에 있다고 생각해봅시다.

그렇다면 위와 같이 가우스 곡면을 잡아야 합니다. 이 때에도 똑같이 가우스 법칙을 적용할텐데, 이번에는 내가 잡은 가우스 곡면 내부에 있는 전하량이 $Q$가 아닙니다. 왜냐하면 공의 전체 전하량이 $Q$인 거지, 내가 잡은 가우스 곡면은 공 전체를 포함하지 않기 때문입니다.

그렇다면 공의 밀도를 이용해서, 내가 잡은 곡면 내부에는 과연 몇의 전하량이 있는지를 계산해야 합니다.
공의 전하 밀도는 다음과 같이 정의됩니다.

$$ \rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi a^3} = \frac{3Q}{4\pi a^3} $$

이게 공의 전하 밀도이고, 이 전하 밀도는 내가 공의 어느 일부분만 잡더라도 일정합니다.
내가 알고싶은 곳의 밀도를 식으로 써 보면, 내가 잡은 곳의 부피는 오직 가우스 곡면의 부피이므로, 다음 식이 만족해야 합니다.
내가 알고싶은 곳의 밀도는 $\rho$로 일정한데, 내가 알고싶은 곳의 전하량은 $Q$가 아니므로, $Q'$라고 써봅시다.

$$ \rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q'}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{3Q'}{4\pi r^3} = \frac{3Q}{4 \pi a^3} $$

내가 임의로 잡은 부피 에서의 전하 밀도도, 공의 전체 전하 밀도와 같아야 되므로 마지막 두 식이 성립하게 되는 것입니다.
그렇다면 우리는 $Q'$을 $Q$와 $a$를 이용해서 표현할 수 있습니다!

$$ Q' = \frac{r^3}{a^3} Q $$

입니다. 즉 $r<a$이므로, $Q'<Q$입니다. 합당한 결과죠? 왜냐하면 우리가 잡은 가우스 곡면은 원래의 공보다 크기가 작기 때문입니다.

따라서 이 상황에서 가우스 법칙을 적용하면,

$$ \Phi_{\rm{E}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q'}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \frac{r^3}{a^3} $$

이 되고, 따라서 거리 $r$에 전하가 만드는 전기장의 세기는

$$ E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{r^3}{a^3} \frac{1}{r^2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{a^3}r  $$

이 됩니다. 이렇게 범위를 나누어서 구한 두 결과를 전기장-거리 그래프로 그려보면 다음과 같습니다.

첫 번째로 구한 건 공의 밖에서의 전기장이었고, 이건 그냥 쿨롱의 법칙을 점 전하에 대해 적용한 것과 같은 그래프가 그려지겠죠. 그러나 두 번째로 구한 공 내부의 전기장은, 공의 중심으로부터의 거리 $r$에 비례합니다.