두께가 있는 고리의 관성 모멘트에 대한 해석

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안녕하세요, 설군입니다.

두께가 있는 고리의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

$$ I = \frac{1}{2} M(R_1^2 +R_2^2) $$

얼핏 생각하기에, 내경과 외경의 차이로 계산해야 되므로, 괄호의 항은 \(R_2^2 - R_1^2\)일 것 같지만, 계산해보면 합이 맞습니다.
이렇게 생각해보면 됩니다.

두께가 있는 고리의 내경과 외경을 생각해보면, 내경은 외경보다 클 수 없습니다. 즉 \(R_1 < R_2\)입니다. 그렇다면 만약 \(R_1 = R_2\)라면 두께가 없는 고리와 같아지는 셈이고, \(R_1 = 0\)이라면 속이 꽉찬 원통과 같아지는 셈입니다.

* \(R_1 = R_2\)라면, 두께가 없는 고리와 같아진다.

$$ I = \frac{1}{2} M(R_1^2+R_2^2) = \frac{1}{2} M(2 R_2^2 ) = MR_2^2 $$

두께가 없는 고리의 관성 모멘트는 \(I = MR^2\)이므로 같아진다는 걸 알 수 있습니다.

* \(R_1 = 0\)이라면, 속이 꽉 찬 원통과 같아진다.

$$ I = \frac{1}{2} M(R_1^2+R_2^2) = \frac{1}{2} M(R_2^2 ) = \frac{1}{2}MR_2^2 $$

속이 꽉 찬 원통의 관성 모멘트는 \(I= \frac{1}{2} MR^2\)이므로 같아진다는 걸 알 수 있습니다.