도르래의 관성 모멘트와 회전 운동 방정식(돌림힘 방정식)

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안녕하세요, 설군입니다.

일반 물리학에서 회전 운동을 배우기 전까지는 도르래의 회전 운동을 무시했었습니다. 그러나 실제로는 도르래가 크기가 있고 질량을 가지고 있으므로 도르래의 회전 자체도 고려해주어야 합니다.

도르래는 원통 모양으로 생각되곤 합니다. 따라서 도르래의 관성 모멘트는 원통, 원판의 관성 모멘트와 같습니다.

회전 운동 방정식(돌림힘 방정식, 토크 방정식)은 다음과 같이 세울 수 있습니다.

$$ \sum \tau = I \alpha $$

이 때, 좌변은 도르래가 받는 모든 토크를 벡터적으로 더한 것, 즉 알짜 토크를 말합니다. 다음과 같은 상황에서 도르래가 받는 알짜 토크를 생각해봅시다.

도르래의 관성 모멘트를 생각하여 토크 방정식을 세운다는 말은, 도르래가 회전하는 것을 고려한다는 의미입니다. 도르래가 회전한다는 말은 정확히 이야기하면 도르래가 각가속도를 가지게 된다는 말이고, 그 원인은 도르래를 회전시켜주는 알짜 토크가 있기 때문입니다.

이해하기 쉽게 직선 운동의 개념으로 설명하면, 어떤 물체가 가속운동 한다는 이야기는 그 물체가 알짜힘을 받기 때문이라는 것이죠.

그렇다는 말은 도르래에 작용하는 장력을 위와 같이 두 가지를 생각할 수 있는데, 하나는 도르래를 시계 방향으로 회전시키려 하는 장력 $T_1$이고, 다른 하나는 도르래를 반시계 방향으로 회전시키려 하는 장력 $T_2$입니다. (헷갈리지 않게 하기 위해서 질량과 아래첨자를 맞추었습니다)

무거운 물체가 있는 쪽으로 도르래가 회전하며 각가속도를 가질 테니, $T_2$쪽의 토크가 더 강하여 알짜 토크의 방향은 곧 $T_2$가 만드는 것과 같은 방향이라는 것을 예상할 수 있습니다.

따라서, 토크 방정식은 다음과 같이 쓰입니다.

$$ \sum \tau = \sum r F = RT_2 - RT_1 = I \alpha = \frac{1}{2} MR^2 \alpha $$

여기서 줄이 도르래에서 미끄러지지 않는다고 가정 하면, 미끄러지지 않는 구름 조건을 이용해서 $a=R\alpha$ 식으로 정리해줄 수 있어요. 정리해주면

$$ T_2 - T_1 = \frac{1}{2}Ma $$

가 됩니다. 장력은 다음과 같이 물체들에 대해 직선 운동 방정식을 세워주면 됩니다.
각각 질량이 $m, 2m$인 물체에 대하여 식을 두 개 세우면

$$ \begin{split} 2mg - T_2 &= 2ma \\ mg - T_1 &= ma \end{split}$$

로 세울 수 있고, 이렇게 총 세 개의 방정식을 얻었습니다. 이들을 연립해주면 원하는 물리량을 얻을 수 있습니다.