정지 마찰력과 운동 마찰력

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안녕하세요, 설군입니다.

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마찰력 문제를 풀 때에는 물체가 정지한 상황에서 받는 마찰력인지, 운동하고 있는 상황에서 받는 마찰력인지를 꼭 구별해야 합니다.
운동하고 있는 상황에서 받는 마찰력은 가속운동이나 등속운동 모두 적용됩니다.

* 정지 마찰력

먼저 정지한 상황에서 받는 마찰력을 생각해봅시다. 물체가 정지한 상황에서 받는 마찰력이라는 말은, 물체가 외부 힘을 받고있는데 그것에 버티기 위해서 반대 방향으로 마찰력이 작용하는 상황입니다. 예를 들어 빗면에 가만히 놓인 물체같은 경우가 있습니다.

그림과 같이 질량이 \(M\)인 물체가, 경사각이 \(\theta\)인 빗면에 놓여 있는 상황입니다. 이 때 물체가 마찰력을 받으며 정지해 있는 상황을 생각해봅시다.

빗면에 놓인 물체는 중력을 받고, 마찰력도 받으며 정지해 있습니다. 물체가 정지해있다는 말은 힘의 평형을 이루고 있다는 뜻이므로, 이 상황에서는 중력이 아래로 \(Mg \sin(\theta)\)의 크기로 작용하고, 마찰력은 중력에 반대되는 방향으로 \(f=\mu N\)의 크기로 작용합니다. 빗면에서 물체가 빗면 방향으로 받는 중력의 크기는 다음과 같이 그림을 그려 분석할 수 있습니다.

빗면에 놓인 물체가 받는 중력을 분해할 때에는, 몇 개의 보조선을 그려야 합니다. 먼저 지면에 수평한 보조선을 그리고, 물체가 운동하는 방향을 \(x\)축이라고 놓고 보조선을 그리고, 그것에 수직인 보조선을 \(y\)축이라고 놓고 그립니다. 그리고 우리가 \(Mg\)라는 중력 벡터를 \(x\), \(y\)방향으로 분해할 거예요. 빗면의 각도를 보조선이 있는곳에 표현해보고, 삼각함수를 이용해서 중력을 분해하면 다음과 같이 분해됩니다.

\(Mg\)라는 중력은, 각각의 \(x\), \(y\)방향으로 두 개의 빨간 벡터로 분해가 가능합니다. 그래서 우리가

바로 이렇게 힘을 표시할 수 있었던 것이죠. (외워두면 편리합니다)
그럼 정지 마찰력의 정의에 의해서 정지 마찰력의 크기는 정지 마찰 계수와 수직항력의 곱인데, 수직항력은 위에서 분해한 중력을 상쇄시키기 위해 빗면이 물체를 떠받쳐주는 힘이므로, 그 수직항력의 크기는 \(Mg\cos(\theta)\)와 같습니다. 따라서 마찰력은

$$f = \mu N = \mu \cdot Mg \cos (\theta) $$

가 되는것이죠. 따라서 물체가 정지해 있을 때의 힘의 평형 식은

$$ \mu \cdot Mg \cos (\theta) = Mg \sin (\theta) $$

가 됩니다.

* 운동 마찰력

그렇다면 물체가 등속운동 또는 가속운동 하는 상황이라면 어떻게 될까요? 이 때에는 마찰력의 방향은 물체가 운동하는 것의 반대 방향이고, 운동 마찰력의 크기는 운동 마찰 계수 곱하기 수직항력이 됩니다. 즉 \(mu\)가 바뀌는 거고 식은 똑같아요.

이 때에는 힘의 평형이 아니라, 물체가 운동하는 상황이므로 \(F=ma\)를 적용해야 합니다. 이 때, 물체가 운동하는 방향을 \(+x\)방향으로 일반적으로 설정한다면, 다음과 같이 \(F=ma\)를 쓸 수 있습니다.

$$ \begin{split} F  &= Ma \\ Mg \sin (\theta) - \mu Mg \cos (\theta)  &= Ma \end{split} $$

여기서 좌변은 물체가 받는 알짜힘을 말하는 거니까, 물체가 받는 중력에서 마찰력을 뺀 것으로 적어주면 됩니다. 만약 물체가 가속운동을 하는 상황이라면 상황에 맞게 가속도 \(a\)를 대입해주면 되고, 물체가 등속운동 하는 상황이라면 \(a=0\)입니다. 즉 정지해 있는 상황이랑 힘 관계가 동일해지는 거예요. 그런데! \(\mu\)가 달라요. 정지해 있는 경우의 마찰 계수와, 운동하는 경우의 마찰 계수가 다릅니다. 이 점을 주의하시면 됩니다.