경사면에서 구르는 물체의 운동

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안녕하세요, 설군입니다.

경사면에서 물체가 구름운동 할 때의 상황을 분석해봅시다.

위의 그림과 같이 어떤 경사면에 원통이 놓여있는 상황을 생각해봅시다. 원통의 총 질량과 반지름은 \(M\), \(R\)이고, 원통의 높이는 우리가 오늘 다룰 회전 운동 문제에서는 중요하지 않습니다.
높이가 \(h\)인 경사면의 꼭대기에서 원통을 가만히 놓았다면 원통이 굴러갈 거예요. 이 때 이상적인 상황을 가정하기 위해서, 원통이 경사면에서 미끄러지지 않고 회전운동을 하며 굴러간다고 생각해봅시다.

역학적 에너지 보존 법칙을 이용해서, 이 원통이 경사면의 끝에 도달했을 때의 속력을 구해봅시다.

$$ Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 $$

와 같이, 원통이 처음에 가지고 있던 퍼텐셜 에너지는 전부 직선 운동 에너지와 회전 운동 에너지로 변환될 것입니다.
이 때, 구름 운동에서는 다음과 같은 조건을 만족합니다.

$$ v = R \omega $$

따라서 \(\omega\)대신에 모두 \(v\)로 식을 바꾸어 주면 다음과 같이 정리됩니다. 정리하는 김에 원통의 관성 모멘트는 \(I = \frac{1}{2} MR^2\)이므로, 이걸로 고쳐주면, 역학적 에너지 보존 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$$ Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} MR^2 \cdot \left( \frac{v}{R} \right)^2 $$

따라서,

$$ Mgh = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2 $$

이 됩니다. 즉, 경사면의 끝에 도달했을 때의 질량 중심의 속력은 \(v^2 = \frac{4}{3}gh\)로 구할 수 있는것입니다.
원통이 아니라 속이 꽉찬 구, 구 껍질, 고리와 같은 물체라면 관성 모멘트가 달라지기 때문에, 경사면의 끝에 도달했을 때의 질량 중심의 속력도 달라집니다. 이 말은 경사면에서 출발해서 경사면의 끝까지 도달할 때 걸리는 시간이 관성 모멘트에 따라 달라진다는 것입니다. (같은 질량, 같은 반지름의 물체라고 할 때)

구, 원통, 고리를 예로 들어 생각해봅시다.

각각의 질량이 모두 \(M\)으로 같다고 하면, 이들의 관성 모멘트는 \(I = AMr^2, I=BMR^2\)와 같이 \(MR^2\)과 임의의 계수로 표현할 수 있습니다. 물론 고리의 관성 모멘트는 \(I=\frac{1}{2} M(R_1^2+R_2^2)\)이긴 합니다.

경사면의 끝에 도달했을 때의 속력을 구하기 위해 역학적 에너지 보존 법칙 식을 써 보면,

$$ Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + CMR^2 \cdot \omega^2$$

이 됩니다. 여기서 \(C\)는 임의의 계수를 말합니다. 그런데 다시, \(v = R \omega\) 이므로,

$$ Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + CMv^2$$

으로 표현되어, 직선 운동 에너지의 항과 같은 꼴로 쓸 수 있습니다. 그리고 경사면의 끝에 도달했을 때의 속력은, 항을 정리하여 넘겨주고 \(v\)만 남겨주면 됩니다. 항을 정리하여 넘겨주는 과정에서 \(C\)값이 크다면 속력 \(v\)는 작아질 것입니다. 따라서 관성 모멘트가 큰 물체일 수록 경사면의 끝에 도달했을 때의 속력이 작습니다.

경사면의 끝에 도달했을 때의 속력이 작다는 말은, 떨어지는 데 걸리는 시간이 길다는 말입니다. 늦게 떨어진다는 의미입니다.

역학적 에너지 보존 법칙을 해석해보면, 물체가 처음 가지고 있던 중력 퍼텐셜 에너지가 점점 소모되면서, 직선 운동 에너지와 회전 운동 에너지로 분배가 된다는 것인데, 관성 모멘트가 클 수록 회전 운동 에너지로 분배가 더 많이 될테니까, 직선 운동 에너지로 분배되는 양은 적어집니다.
직선 운동 에너지로 분배되는 양이 적다는 말은, 질량 중심의 운동 에너지로 분배되는 양이 적다는 말입니다. 즉 관성 모멘트가 크다면 물체의 질량 중심의 속력이 적게 증가한다는 얘기죠.

그래서 관성 모멘트가 크면 늦게 떨어지는 것입니다.