관성 모멘트의 개념

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안녕하세요, 설군입니다.

관성 모멘트라는 물리량은 직선 운동에서 질량에 대응됩니다.
질량이 큰 물체는 관성이 커서, 가속시키는 데에 큰 힘이 들고
질량이 작은 물체는 관성이 작아서, 가속시키는 데에 작은 힘이 듭니다.

관성 모멘트가 큰 물체는 회전 관성이 커서, 회전 운동 시키는 데에 큰 토크가 들고
관성 모멘트가 작은 물체는 회전 관성이 작아서, 회전 운동 시키는 데에 작은 토크가 듭니다.

관성 모멘트를 이야기할 때에는 물체가 크기를 가지고, 회전을 하는 상황이기 때문에 회전축이 어디인지 꼭 말해주어야 합니다.
회전축이 어디냐에 따라 물체를 회전시키는 게 더 어려울 수도 있고 쉬울 수도 있어요. 간단한 다음 예시를 생각해봅시다.

이렇게 생긴 아령이 있고, 중앙 부분을 한 손으로 잡고 손목으로 빙빙 회전시키는 것과,

정확하게 같은 규격의 아령이고 질량도 모두 같은데, 무게추만 멀리 끼운 아령입니다. 이런 아령의 중앙 부분을 한 손으로 잡고 손목으로 빙빙 회전시킬 때
어느 경우가 더 손목이 더 힘들지를 생각해보세요. (실제로 해보아도 좋구요!)
이런 경우에는, 무게추가 중심으로부터 멀리 떨어져 있는 경우가 손목이 더 힘듭니다.

위의 경우에 무게추가 중심으로부터 멀리 떨어져 있는 두 번째의 경우가 관성 모멘트가 더 큽니다.
위와 같은 간단한 경우 말고 모양이 불규칙한 경우거나, 회전축이 다른곳에 있는 경우에도 물체의 관성 모멘트는 다음과 같이 정의됩니다.

$$ I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_N r_N^2 = \sum_{i=1}^{N} m_i r_i^2 $$

물체를 이루는 수많은 입자들이 질량을 가지고 있고, 그 입자들이 총 \(N\)개 있다고 합시다. 물체를 이루는 어떤 질량이 \(m_i\)인 입자가 있고, 그 입자가 회전축으로부터 수직으로 떨어진 거리가 \(r_i\)라고 할 때 그걸 모조리 다 더하는 거예요. 그런데 거리를 더할때에는 제곱을 해서 더해야 합니다. 이것이 관성 모멘트의 정의입니다. 거리를 제곱하는 이유에 대해서는 생각해보면 좋아요.

그림은 간단하게 아주 얇은 원판을 예로 들었는데, 만약 부피가 있는, 두께가 있는 원판이나 혹은 공 모양의 물체에 대해서 관성 모멘트를 구할 때에도, 꼭 물체를 관통하는 임의의 회전축을 기준으로, 그 회전축으로부터 물체를 이루는 작은 입자가 떨어진 거리를 계산해야 해요.

회전축으로부터 수직으로 떨어진 거리라는게 중요합니다!

위의 그림은 속이 꽉찬 구의 중심을 관통하는 회전축을 생각했을 때, 이 상황에서의 구의 관성 모멘트를 구하는 그림인데, 저렇게 중심으로부터 임의의 질점까지의 거리 \(r_i\)를 생각하면 안됩니다. 이건 틀린 그림입니다. 회전축으로부터 수직으로 떨어진 거리를 생각해야 해요 원판처럼!