전기장 속의 쌍극자

 

 

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안녕하세요, 설군입니다.

그림과 같이 질량이 m 으로 동일하고, 전하량의 크기는 q 로 같지만 전하의 부호가 반대인 전기 쌍극자가 단단한 가벼운 막대로 연결되어 있습니다. 이 전기 쌍극자는 전기장이 E 로 펼쳐진 공간에, 각도 θ 를 가지고 놓여있습니다. 막대의 길이는 2a 입니다. 이런 문제 상황을 분석해봅시다.

점전하들이 받는 힘이 무엇이 있는지부터 살펴봅시다. 전하를 띤 입자가 전기장 속에 놓여있으므로, 전기력을 받는것이 가장 먼저 떠오릅니다. (그리고 여기서 중력은 무시하도록 하겠습니다.)

양전하는, 전기장의 방향 그대로 전기력을 받고, 음전하는 전기장의 방향과 반대 방향으로 전기력을 받으므로, 위의 그림과 같이 표시할 수 있습니다.

힘을 들여다보면, 각각의 전하들이 받는 힘의 방향은 반대고 크기는 같으므로, 힘의 평형 상태가 되어서 결국 이 전기 쌍극자는 힘의 평형 상태에 있어서 직선으로는 어떠한 가속운동도 하지 않게 됩니다. 그러나, 돌림힘의 평형을 만족하는지를 생각해보아야 합니다.

이 상황에서 전기 쌍극자는 돌림힘의 평형을 만족하지 않습니다. 잘 생각해보면 그림과 같이 양 방향으로 힘을 받는다면, 물체의 질량이 동일하므로 두 물체의 질량중심을 회전축으로 하는 회전 운동이 발생한다는 사실을 알 수 있어요. 

마찰이 매우 약한 책상에 놓인, 길이가 2a 인 막대기를 문제 상황과 같은 힘 방향으로 톡 하고 친다면 그 막대기는 회전할 거예요. 그 상황과 동일한 상황입니다. 여기서 한가지 중요한건, 두 점전하의 질량이 동일하기때문에, 전기 쌍극자의 회전 운동의 회전축이 쌍극자의 무게중심, 즉 정확히 두 전하 사이 지점이라는 것입니다.

 

돌림힘이 무엇인지 생각해봅시다. 아래 그림과 같이 임의의 회전축 x 로 표시한 곳이 있고, 그곳으로부터 힘이 작용하는 거리까지의 위치 벡터를 $\vec{r}$ 이라고 표현하고, 그리고 그 위치에서 힘 벡터를 $\vec{F}$ (여기서는 양전하가 받는 힘이라는 의미로, 아래첨자로 + 기호를 붙였습니다.) 라고 표현합니다.

그리고 나서 돌림힘을 구하는 공식은, 위에 적은것처럼 r 벡터와 F 벡터의 '외적' 입니다.

벡터의 연산을 할 때에는, 벡터의 '시점' 을 아무 위치로 옮겨도 되고, 생각하기 쉽게 위의 그림처럼 r 벡터와 F 벡터의 시점을 일치시켜봅니다. 그렇게 되면 두 벡터가 이루는 각도는 θ, 즉 전기장과 전기 쌍극자가 이루는 각도가 되고요.

외적의 결과는 벡터 값으로 나와야 하므로, 외적의 결과는 크기도 있고 방향도 있습니다.

 

외적의 크기를 구할 때에는, 외적을 하는 첫번째 벡터의 크기와, 두번째 벡터의 크기와, 그리고 두 벡터가 이루는 예각 θ 의 sine 값을 곱해주면 그것이 바로 외적 결과물의 크기입니다.

외적의 방향을 구할 때에는, 외적 시작하는 첫번째 벡터로부터 두번째 벡터 방향으로 오른손 네 손가락을 자연스럽게 감아쥔다고 생각하면 됩니다.

 

따라서 이 상황에서 돌림힘의 방향은, r 방향으로 오른손 네 손가락을 향하게 하고, 그 손가락을 F 방향으로 감아쥐는 방향, 즉 화면을 뚫고 들어가는 방향입니다. 또는, 쉽게 표현해서, 문제의 전기 쌍극자를시계방향으로 회전시키려고 하는 방향입니다.

 

마찬가지의 방법으로 음전하가 받는 돌림힘도 똑같이 구해보자면, 동일한 크기의 돌림힘과 동일한 방향이라는 것을 알 수 있습니다.

그래서 최종적으로, 전하 두개 각각이 받는 돌림힘을 구한다음 둘을 벡터 합 해주게 되면 그것이 최종적으로 전기 쌍극자가 받는 돌림힘입니다. 양전하도 그렇고 음전하도 그렇고 돌림힘의 크기는 동일하고, 방향도 동일합니다. (쌍극자를 시계방향으로 회전시키는 방향으로 돌림힘을 받음. 양전하도 그렇고 음전하도 그렇고.)

따라서, 쌍극자 전체에 가해지는 돌림힘은 (크기만 생각해주면) 다음과 같이 구할 수 있습니다.

전기 쌍극자가 받는 힘은 평형이라서 직선 운동 방향으로 가속을 전혀 하지 않지만,

돌림힘은 방금 구한 것과 같이 평형이 아니라서 어떤 회전 운동을 하게 됩니다.

 

이를 돌림힘 방정식에 대입해봅시다. 선운동에서의 가속도의 법칙은 F = ma 였던 것처럼, 그것의 돌림힘 버전은? τ  = I ɑ 가 됩니다. 질량 m 에 대응되는 것이 관성 모멘트 I (대문자 i) 이고, 가속도에 대응되는 것이 각가속도 ɑ 입니다.

 

관성 모멘트 I 를 구하는 것은 쉽습니다. 관성 모멘트라는 건, 회전축으로부터 질량이 얼마인 물체가 얼마만큼 떨어져있느냐를 의미합니다. 질량이 m 인 물체가 r 만큼 떨어져 있을 때에는, 관성 모멘트에 $m r^2$ 만큼 기여를 합니다.

양전하 하나가 회전축으로부터 $a$ 만큼 떨어져 있고, 질량이 $m$ 이므로, 양전하 하나가 쌍극자의 관성 모멘트에 기여하는 분량은 $ma^2$ 입니다.

음전하 하나도 동일하게 관성 모멘트의 기여분은 $ma^2$ 입니다. 따라서 쌍극자 전체의 관성 모멘트는 $2ma^2$ 이 됩니다.

좌변의 돌림힘은 앞서 구한대로 적어주면 되고, 우변의 관성모멘트도 역시 $2ma^2$ 으로 적어주면 됩니다. 그런데 여기서 각가속도 ɑ 라는 물리량은, 직선 운동에서 위치-속도-가속도 관계가 있는것처럼. 각도-각속도-각가속도 의 관계가 있는 물리량을 생각해보면 됩니다.

쌍극자가 회전하는 각도 $\theta$ 가 시간에 따라 어떻게 변하는지는 $\dot{\theta}$ 이렇게 표현하고 바로 각속도 라고 하고, 각속도가 시간에 따라 어떻게 변하는지는 $\ddot{\theta}$ 이렇게 표현하고 바로 각가속도라고 합니다.

시간에 대해 한 번 미분하면 위에 점을 하나 붙이는것이고, 시간에 대해 두 번 미분하면 위에 점을 두 개 붙이는 것입니다.

그리고 한가지 근사를 해주어야 하는데, 바로, 쌍극자가 회전하는 각도 θ 가 매우 작다면, sin(θ) ~ θ 로 근사할 수 있어서, 이 근사를 적용해줍니다.

그래서 최종적으로 좌변에는 $\ddot{\theta}$ 만 남게 정리해주면 위와 같이 식이 정리됩니다. 그런데 여기서 음수 부호를 붙여주어야 물리학적인 의미가 완성되는데, 쌍극자가 회전함에 있어서 전기장은, 쌍극자가 θ 만큼 회전했을 때 그 θ 를 0 으로 만들고자 하는, 복원하고자 하는 힘의 역할을 한다고 해서 음수 부호를 붙여줍니다. '복원력' 이라는 의미에서 돌림힘에 음수 부호를 붙여준 것입니다.

 

번외 문제 - 두 전하의 질량이 다른 경우

처음 문제에서는 두 전하의 질량이 m 으로 같았지만, 만약 양전하의 질량이 m1, 음전하의 질량이 m2 로 다르다면?

제일 중요한 점은, 이 경우는 전기 쌍극자의 질량중심이, 막대의 중앙이 아니라는 점입니다. m1 > m2 라면 m1 쪽에 더 가까운 곳에 질량중심이 존재할 것입니다.

양전하 m1 으로부터 질량중심 까지 떨어진 거리를 r1, 음전하 m2 로부터 질량중심 까지 떨어진 거리는 r2 라고 한다면 위와 같이 r1, r2 를 구할 수 있습니다.

질량이 바뀌었다고 해서, 각각의 점전하들이 받는 전기력의 크기가 달라진 건 아닙니다. 전하량과 전기장의 세기는 이전과 동일하니까요.

그렇다면 돌림힘이 달라졌을까요? 무게중심으로부터 거리가 달라졌으니, 돌림힘을 계산할 때 팔의 길이가 달라졌으니까요!

처음 문제에서는 돌림힘을 계산할 때, 각각의 전하가 받는 돌림힘이 a q E sin (θ) 였고, 그게 두 전하 모두 동일했지만

이번에는 각각의 전하가 받는 돌림힘이 r1 q E sin(θ), r2 q E sin(θ) 이렇게 r1, r2 로 바뀌었습니다.

하지만 이를 더해 쌍극자 전체가 받는 돌림힘을 생각하면 결국 동일해집니다.

 

그럼 혹시 달라지는 물리량이 있을까요? 달라지는 물리량은 '관성 모멘트' 입니다.

전기 쌍극자의 질량 분포가 처음과는 달리 바뀌었으므로 관성 모멘트가 바뀌게 됩니다.

관성 모멘트만 달라졌으므로, 돌림힘 운동 방정식을 세울 때 관성 모멘트에만 값을 잘 대입해주면 됩니다.