용수철에 매달린 채 전기력을 받는 점전하

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안녕하세요, 설군입니다.

위의 그림의 왼쪽 상황과 같이, 처음에 용수철 상수가 k 인 용수철에 전하량이 q1, 질량이 m 인 양전하가 매달려 있었습니다.

그런데, 오른쪽 상황과 같이 아래에 전하량이 -q2 인 음전하를 거리 r 만큼 떨어뜨려 가져다놓으니, 용수철의 길이는 d 만큼 늘어난 채 유지되었습니다. 이런 상황을 분석해봅시다.

 

왼쪽 처음 상황에서는, 양전하가 용수철에 매달리게 되면 질량 때문에 용수철은 어느정도 늘어난 채 평형 상태에 있습니다.

이 점을 꼭 기억해야 합니다.

그래서 문제에는 표시되어있지 않더라도, 이미 임의의 길이 x 만큼 늘어나 있는 상황이라는 걸 인식해야 합니다.

 

그리고 나서, 오른쪽 상황이 되면, 아래에 음전하가 추가되었으므로 양전하는 인력을 느껴 아래로 당겨질 것이고, 그래서 거리 d 만큼 용수철이 '추가로' 늘어나는 상황입니다. 이 상태로 평형 상태에 머물러 있습니다.

 

오른쪽이 힘의 평형 상태라고 생각하고, 양전하가 받는 모든 힘들을 생각해봅시다.

그림과 같이 세 개의 힘을 받습니다. 먼저 $\vec{F}_{\rm{S}}$ 로 표시한 힘은, 양전하가 용수철에 의해 위로 당겨지는 힘입니다. Spring 의 S 를 따서 표현하였습니다. $\vec{F}_{\rm{G}}$ 는 지구가 질량체를 끌어당기는 중력입니다. 양전하는 전하량 뿐 아니라 질량도 가지고있기 때문에, 아래 방향으로 중력을 받습니다. Gravity 의 G 를 따서 표현하였습니다. 마지막으로 $\vec{F}_{\rm{E}}$ 는 음전하가 양전하를 아래 방향으로 잡아당기는 전기력입니다. Electric force 의 E 를 따서 표현하였습니다.

 

힘의 평형 상태이므로, 힘의 방향을 고려하여 평형 상태의 식을 세워주면 됩니다.

용수철이 물체를 당기는 힘의 크기는, 용수철 상수 곱하기, 용수철이 늘어난 길이입니다. 여기서 용수철 상수는 소문자 k 로 사용하고 있고, 용수철이 늘어난 길이는 용수철의 원래 상태로부터 늘어난 총 길이를 말하므로, d 가 아니라, x+d 입니다.

음전하가 양전하를 당기는 전기력의 크기는, 쿨롱의 법칙을 이용하여 구할 수 있습니다. 문자가 겹쳐서 여기서 쿨롱 상수는 대문자 K 로 적었습니다.

마지막으로, 양전하가 받는 중력의 크기는 mg 로 적어줍니다.

 

이렇게 정리된 식에서, 문제에서 만약 처음에 양전하만 용수철에 달랑 매달았을 때 늘어난 길이인 x 를 제시해주지 않았어도, 우리는 x 를 없앨 수 있습니다.

문제에서, 음전하를 가져다놓기 전의 상황을 생각해봅시다.

어차피 양전하만 용수철에 매달려 있는 경우도 힘의 평형 상태이므로, 간단하게 용수철이 양전하를 당기는 힘과, 양전하가 받는 중력이 평형 상태를 이룬다고 놓으면, kx = mg 의 식을 세울 수 있습니다. 따라서 이 식으로 x 를 없앨 수 있는것이죠.