반구에 놓인 두 점 전하

 

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안녕하세요, 설군입니다.

위의 그림과 같이 질량이 m, 전하량이 q 로 동일한 양전하가, 반구 모양의 구조물에 놓여 힘의 평형 상태를 유지하고 있습니다.

반구의 반지름은 R, 그리고 두 점전하가 떨어진 거리는 d 입니다. 이런 상황을 분석해봅시다.

 

힘의 평형 상태에서 물체가 받는 힘들을 모조리 생각해봅시다. 문제의 상황은 좌우 대칭적인 상황이므로 물체 하나에 대해서만 분석하여도 됩니다. 점전하 하나가 받는 힘을 생각해봅시다. 질량이 있으므로, 지구가 점전하를 잡아당기는 중력 mg 를 받을것입니다. 그리고 옆에 또다른 전하가 있으므로, 그 전하로부터 밀어내는 힘을 받을것입니다.

왼쪽에 있는 전하는, 오른쪽의 전하가 왼쪽으로 미는 전기력을 받을것입니다. 이를 $\vec{F}_{\rm{E}}$ 로 표시하였습니다.

 

그리고, 구조물이 물체를 떠받치고 있는 '수직항력' N 을 받을것입니다. 그 수직항력의 방향은, 구조물이 지금 반구 모양이므로, 점전하가 있는 곳에서의 접선과 수직인 방향, 즉 반지름 방향입니다.

그림으로 표현해보면 이런 상황이 되었습니다. 이제 왼쪽의 점전하가 받는 모든 힘들을 찾아서 벡터로 표시하였으므로, 이 벡터를 내가 문제 풀기 편한 좌표를 잡아서 그 좌표로 성분 분해를 해주어야 합니다.

위의 그림과 같이 x, y 좌표를 잡고, 중력과 전기력은 이미 x 혹은 y 방향으로 정렬되어 있으므로 따로 분해 할 필요는 없구요.

수직항력 N 을 각각 x 성분, y 성분으로 분해해주어야 합니다.

그렇게 하기 위해서는 수직항력과 x 축이 이루는 각도 θ 라고 임의의 문자로 표기를 해야, 삼각함수를 활용할 수 있기 때문에 위의 그림과 같이 표현해주었습니다.

 

그리고는, 문제에 주어진 길이들을 이용하여 θ 를 표현하는 방법을 찾아야 합니다.

문제에서 두 점전하 사이의 거리가 d 로 나와있고, 그것의 반이니까 d/2, 그리고 반구의 반지름은 R 로 주어졌으므로,

직각삼각형의 그림상에서 빗변의 길이가 R, 아랫변의 길이가 d/2 인 상황입니다. 그래서 cosine 값을 구할 수 있습니다.

 

이걸 이용해서 힘의 평형 식을 다시 적어봅니다. 그림을 다시 가져와서 참고해보면,

아래와 같이 정리할 수 있습니다.

x 방향에 대한 힘의 평형 식을 먼저 적어서, N 이라는 수직항력 값을 우리가 알고 있는 문자들로 표현해준 뒤에,

y 방향에 대해 힘의 평형 식을 적고, 그곳에 대입해주면 우리가 구하지 못했던 sine 값을 구할 수 있습니다.

(값을 구한다는 게, 문제에 처음에 주어졌던 물리량들로 식을 표현할 수 있다는 의미입니다. θ 는 문제에서 처음에 준 값이 아니라, 문제를 풀면서 우리가 임의로 설정한 값이기 때문에 최종 정답에서 θ 는 없어져야 합니다.)

 

위의 y 방향 식의 결과를 잘 들여다보면,

문제에서 만약 점전하 q 의 전하량 값이 늘어난다고 하면, sin(θ) 값은 줄어들 것입니다. 그 말은 0°, 90° 범위 내에서 θ 가 감소한다는 뜻이지요.

잘 생각해보세요, 만약 연하게 그린 두 점전하의 위치가 처음 위치였는데, 갑자기 두 점전하의 전하량이 커진다면? 그 둘은 전기력이 더 강해져서, 서로를 더 밀어낼 테고 반구 구조물을 타고 약간 올라갈 것입니다.

즉, θ 가 처음보다 감소하게 되는것이지요.

라고 생각할 수도 있지만...

 

전하량 q 를 바꿀 때 각도 θ 가 어떻게 되는지 최종 식을 보며 분석하는 상황에서

$$ \sin(\theta) = \frac{mg \cdot 2 R d}{k q^2} $$

질량 m, 중력가속도 g, 숫자 2, 반지름 R, 쿨롱상수 k 는 변하지 않는 상수이지만, d 와 q 는 변할 수 있는 상황입니다.

 

d 도 없애고 싶은데 어떻게 할수 있을까요?

삼각형을 잘 들여다 보았을 때, cos (θ) = 2R/d 이므로 d 를 이걸로 치환해주면,

이렇게 θ 와 q 만 변수로 남은 식으로 정리할 수 있습니다. 그럼 이제 해석을 해도 문제 없습니다. 전하량 q 를 늘리면, θ 는 감소할것이다!