전기장 내에서 포물선 운동

 

 

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안녕하세요, 설군입니다.

그림과 같이, 평면 위에서 질량이 m 이고, 전하량이 +q 인 물체가, 초기속도 $\vec{v}_i$ 의 속도로 발사되었습니다. 물체는 균일한 전기장 $\vec{E}$ 가 펼쳐진 공간에서 운동하고 있으며, 중력 역시 받고있습니다. 물체가 최종적으로 도달한 위치는 점 P 이고, 출발 지점으로부터 점 P 까지의 거리는 R 입니다.

 

물체에 대해 운동 방정식을 세워봅시다.

가속도의 법칙 (F=ma) 을 물체에 적용하면 다음과 같습니다.

물체가 받는 알짜힘은, 전기력과 중력입니다.

가속도의 법칙을 적용하여, 물체의 가속도를 구하기 위해서는 먼저 물체가 받는 힘들을 모조리 찾아서, 물체가 받는 알짜힘을 계산해야 합니다.

공기 저항을 무시한다고 하면 물체가 받는 알짜힘은 전기력과 중력의 합입니다. 편의를 위해서 좌표를 정해주고,

물체는 아래 방향으로 중력이 작용하므로 아래 방향으로 mg 만큼의 중력을 받습니다. (아래 방향으로 힘을 받는다는걸 표현하기 위해서 마이너스 부호를 붙여줍니다.)

그리고 물체는 양전하 q 를 가지고 있고, 전기장의 방향도 아래 방향이므로, 아래 방향으로 qE 만큼의 전기력을 받습니다.

이를 이용해서, 방향을 잘 고려하여 물체의 가속도를 구해주면,

물체가 받는 가속도 벡터 $\vec{a}$ 는 이렇게 구해집니다. 여기서 물체의 질량 m, 중력 가속도 g, 물체의 전하량 q, 전기장의 세기 E 는 모두 양수이므로, 최종적인 물체의 가속도의 방향은 -y 방향 즉 중력과 동일한 방향입니다.

가속도 식을 좀 더 정리해주면 이렇게 됩니다. 

만약 중력만 존재하는 공간이었다면, 물체는 아래 방향으로 g 의 크기의 중력 가속도만 받을텐데,

물체가 전하를 띠고 있고, 이 공간은 전기장이 아래 방향으로 작용하는 공간이므로 마치 중력이 더 세진것과 같은 가속도를 느끼게 되는 셈입니다.

중력 가속도가 $g$ 에서, $g+q\frac{E}{m}$ 으로 더 세진것이지요.

 

그리고 나서 물체의 운동을 분석하는 건, 그냥 중력 가속도가 달라진 포물선 운동을 분석하는 것과 동일합니다.

초기속도 벡터가 $\vec{v}_i$ 로 주어졌으므로, 그 벡터의 성분을 x, y 나누어주고,

물체는 등가속도 운동을 하고있으므로, 등가속도 운동 식을 사용해서 분석해주어야 합니다.

 

먼저 x 방향의 물체의 운동에 대해서 분석해봅시다.

물체는 x 방향으로 가속도가 없습니다. 가속도가 0 인 등속 직선 운동을 진행합니다.

따라서 물체의 x 방향 속력 $v_x (t)$ 는 시간에 따라 변함 없이 $v_{ix}$ 즉, 초기 속도의 x 성분이 계속 유지됩니다.

물체의 x 방향 이동 거리 $x(t)$ 는 시간에 따라 변합니다. 이동한 거리는 점점 늘어날 테니까요,

따라서 $t$ 초 동안 물체가 이동한 x 방향 거리는 $x(t) = v_{ix} t$ 로 주어지게 됩니다.

 

이번에는 y 방향의 물체의 운동에 대해서 분석해봅시다.

똑같이 분석하면 되는데, 단지 y 방향의 가속도의 방향과 크기를 주의해서 적어주면 됩니다.

물체가 최대 높이 h 까지 도달하는 순간은, y 방향 속도가 0 이 됩니다.

물체가 T 초 후에 최대 높이 h 까지 도달한다고 놓고, T 를 구해봅시다.

T 초인 순간의 물체의 y 방향 속도가 0 이 되는 경우 라고 놓고 식을 세운 다음, T 를 구해주면 됩니다.

이렇게 표현할 수 있습니다. 여기서 $v_{iy}$ 는, 물체의 초기 속도의 크기 $v_i$ 를 벡터 분해하여 구할 수 있으므로 그렇게 표현했습니다.

따라서 물체는 최대 높이 h 까지 도달하는 데, 위에서 표현한 T 초 만큼의 시간이 걸립니다.

 

물체가 총 이동하는데 걸리는 시간은, 2T 초가 됩니다.

따라서 물체가 이동한 총 x 거리인 R 은, 2T 초 동안 물체가 이동한 x 거리를 구하면 됩니다.

이를 표현해주면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

중력만 작용하는 공간이었다면? 분모가 지금보다 작아졌을 것입니다. 그러므로 거리 R 은 더 커졌을 것이죠.

 

이 글의 초반부에서, 중력과 전기력이 동시에 작용하므로 마치 중력이 세진 것처럼 느껴진 포물선 운동이라고 설명했는데,

중력이 세졌으니까 포물선 운동한 x 거리가 줄어든 것이 당연한 결과일 것입니다. (물체가 빨리 떨어졌으니까)