세 점 전하가 줄에 매달린 경우

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안녕하세요, 설군입니다.

그림과 같이 질량이 m, 전하량이 q 인 동일한 양전하 세 개가 그림과 같이 줄에 매달려 평형 상태에 있습니다.이런 상황을 분석해봅시다.

 

힘의 평형 상태를 분석할 때에는, 물체가 받는 모든 힘들을 모조리 다 표시해주면 됩니다.

물체 하나에 대해 식이 하나가 나옵니다. 그래서 식을 모두 다 적는다면, 총 세 개의 식이 나올거예요.

각각의 물체가 받는 힘을 모두 표시하면 다음과 같습니다.

첫번째 전하는,

장력 T1 을 받을것이고, 중력 mg 를 받을것이고, 두번째 전하가 첫번째 전하를 미는 힘 F2->1 를 받을것이고, 세번째 전하가 첫번째 전하를 미는 힘 F3->1 를 받을것입니다.

두번째 전하는,

장력 T2 를 받을것이고, 중력 mg 를 받을것이고, 첫번째 전하가 두번째 전하를 오른쪽으로 미는 힘 F1->2 을 받을것이고, 세번째 전하가 두번째 전하를 왼쪽으로 미는 힘 F3->2 를 받을것입니다.

세번째 전하는,

장력 T3 를 받을것이고, 중력 mg 를 받을것이고, 첫번째 전하가 세번째 전하를 오른쪽으로 미는 힘 F1->3 을 받을것이고, 두번째 전하가 세번째 전하를 오른쪽으로 미는 힘 F2->3 을 받을것입니다.

 

문제를 가만히 들여다보면, 문제의 상황은 정확히 두번째 전하를 기준으로 거울 대칭의 상황입니다.

따라서 첫번째 전하가 받는 힘을 분석하기만 하면, 그것을 거울 대칭 시키면 정확히 세번째 전하가 받는 힘을 분석한 결과인 것이죠.

힘의 크기는 T1 = T3 임을 알 수 있고,

F3->1 = F1->3

F2->1 = F2->3

임을 알 수 있습니다. (힘의 크기만 따졌을 때 입니다.)

 

첫번째 점전하가 받는 힘을 분석하기 위해서, 1, 2 와 1, 3 점전하 사이의 거리를 알아야 합니다.

문제에서 줄의 길이가 l 으로 나와있으므로, 이를 이용하면

제가 임의로 표시한 r 이라는 거리는 위와 같이 l sin(θ) 로 표현할 수 있으므로

힘을 모두 분해하고 나면 이렇게 표시할 수 있습니다.

여기서 세번째 점전하가 첫번째 점전하에게 가하는 전기력,

두번째 점전하가 첫번째 점전하에게 가하는 전기력을 각각 풀어서 표시하면 위와 같이 쓸 수 있습니다.

 

그리고 나서는 문제에서 주어진 값들을 이용하여 원하는 물리량을 찾으면 됩니다.

문제에서 질량 m, 두 줄의 길이 l, 각도 θ 를 주고 전하량 q 를 구하라고 한다면,

지금 이 상태로도 바로 구할 수 있습니다.

 

x 방향 힘의 평형, y 방향 힘의 평형 상태를 만족하도록 식을 써주면

이렇게 적을 수 있습니다. 첫번째 점전하가 받는 장력은, y 방향 식으로부터 얻어낼 수 있으므로, 그렇게 얻어낸 장력 T1 을 x 방향의 식에 적용하면 전하량 q 를 문제에 주어진 값들만으로 나타낼 수 있습니다.