직선 도선 주변에서의 자기 플럭스 구하기

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안녕하세요, 설군입니다.

전기장이 펼쳐진 공간에 내가 임의의 면적을 잡고, 그 면적을 통과하는 전기력선 다발이 얼마나 되는지를 말해주는 물리량으로, *전기 플럭스* 라는 물리량이 있습니다. 이는 $\Phi_{\mathrm{E}}$ 로 표현합니다.

자기장에 대해서도 정확하게 같은 개념을 정의할 수 있습니다. 이는 *자기 플럭스* 라고 합니다.

그림과 같이 임의의 평면 또는 곡면이어도 상관 없는 면을 내가 정하고, 그 면을 뚫고 지나가는 자기력선 다발이 얼마나 있는지를 계산하고자 합니다. 다음과 같이 자기 플럭스가 정의됩니다.

자기장이 향하는 방향과, 면적이 향하는 방향의 관계가 중요합니다. 면적이 향하는 방향은, 면적 벡터의 방향을 말합니다. 면적 벡터의 방향은 항상 어떤 면에 수직인 방향입니다. 곡면의 면적벡터는, 곡면 위의 임의의 한 점에서의 면적 벡터를 말합니다. 따라서 곡면의 면적 벡터는 곡면의 어떤 지점이냐에 따라서 면적 벡터가 전부 다 다릅니다.

위의 그림과 같이 어떤 면 $dA$ 가 있고, 이 면의 넓이는 $dA$ 입니다. 그 면의 면적 벡터의 방향은 $\hat{n}$ 으로 표시하였습니다. 이 경우 면적 벡터는 $d\vec{A} = dA \cdot \hat{n}$ 입니다. 이 면을 뚫고 지나가는 자기장 $\vec{B}$ 는 임의의 방향이고, 면적 벡터와 $\theta$ 의 각도를 이루고 있습니다.

이때, 면을 통과하는 자기 플럭스는 $d\Phi_{\mathrm{B}}$ 라고 쓴다면 위와 같이 정의되어 계산할 수 있습니다. 자기장 벡터와 면적 벡터의 내적이므로 위와 같이 계산됩니다. 두 벡터의 내적은 코사인 항이 곱해지게 되는데, 이 때 코사인에 들어가는 각도는 두 벡터가 이루는 사이 각도 $\theta$ 입니다.

 

그렇다면, 임의의 면적 벡터의 방향과 자기장의 방향이 정확하게 같은 방향인 다음 상황을 살펴봅시다.

마찬가지로 자기 플럭스를 구할것입니다. 자기 플럭스의 정의에 따라서, 두 벡터의 내적이므로 두 벡터가 이루는 각도가 중요하다고 했습니다. 그런데 정확하게 나란한 방향이므로 두 벡터가 이루는 각도는 0도입니다. 따라서 코사인 항은 단순하게 1이라는 값이 됩니다. 즉 이 상황에서 자기 플럭스는 단순하게 자기장의 세기와 면의 넓이만을 곱한 값이 됩니다.

 

그렇다면 다음과 같이 면적 벡터의 방향과 자기장의 방향이 90도를 이루는 경우는?

이 경우는 코사인 항이 0이 되어, 자기 플럭스의 값이 0입니다. 자기 플럭스의 정의에 대해서 다시 한 번 생각해봅시다. 자기 플럭스는, 자기장이 펼쳐진 공간에서 내가 임의의 면을 잡았을 때, 그 면을 통과하는 자기력선 다발이 얼마나 되는지 입니다. 그런데 이런 상황에서는 면을 통과하는 자기력선 다발이 하나도 없을테니까, 그 값이 0이되는 것입니다.

 

* 예제

다음과 같이 어떤 직선 도선에 전류가 흐르고 있는 상황을 생각해봅시다.

이렇게 아래 방향으로 전류가 흐르는 직선 도선이 있다면, 그 오른쪽 영역에서는 화면을 뚫고 나오는 방향으로 자기장이 생깁니다. 그리고, 그 자기장의 세기는 직선 도선으로부터 떨어진 거리에 반비례합니다. 따라서 자기장을 그림으로 표현하면 위와 같이 그릴 수 있습니다.

임의의 위치에 내가 면을 잡아서 자기 플럭스를 구하고 싶은 상황입니다. 가로가 $a$, 세로가 $b$ 인 사각형을 잡았습니다. 자기장이 균일하지 않고 거리에 따라 바뀌므로, 사각형을 거리에 따라 작은 직사각형으로 쪼개서, 그 작은 직사각형을 통과하는 자기 플럭스를 계산한 후 최종적으로는 그 작은 직사각형의 자기 플럭스들을 모두 더해주게 되면 우리가 원하는 큰 사각형을 통과하는 전체 자기 플럭스를 구할 수 있습니다.

직선 도선이 만드는 자기장의 세기는, 직선 도선으로부터의 거리 $r$ 에 따라 위와 같은 함수로 결정됩니다.

그림으로 몇 가지 변수와 상수를 표현했습니다. 직선 도선으로부터 내가 잡은 사각형까지 떨어진 거리를 $l$ 로 표시하였고 이는 상수입니다. 사각형 면은 위치가 바뀌지 않기 때문입니다. 그리고 빨간색으로 작은 직사각형을 잡았습니다. 세로로 긴 모양으로 빨간 직사각형을 잡은 이유는, 세로 방향으로는 자기장이 균일하기 때문에 자기 플럭스를 계산하기가 편하기 때문입니다! 이 빨간 직사각형의 가로 길이는 $dr$ 이 될 테고, 세로 길이는 $b$ 가 될 테니까, 빨간 직사각형의 넓이 $dA = dr \cdot b$ 가 됩니다. 그리고 직선 도선으로부터 빨간 직사각형 까지 떨어진 거리는 $r$ 이라고 하겠습니다.

 

큰 사각형 면을 통과하는 자기 플럭스를 구하기 위해서, 빨간 직사각형만을 통과하는 자기 플럭스를 구한 다음 이 빨간 직사각형의 위치 $r$ 을 바꾸어가며 모두 더하는 것입니다.

 

그래서 빨간 직사각형만을 통과하는 자기 플럭스 $d \Phi_{\mathrm{B}}$ 는 다음과 같이 구해집니다.

내가 잡은 면이 화면과 나란한 방향이므로, 면적 벡터는 화면을 뚫고 나오는 방향입니다. 그리고 자기장의 방향도 화면을 뚫고 나오는 방향이기 때문에, 자기 플럭스를 구할 때 자기장과 면적 벡터를 내적하니까 그 내적의 코사인 값은 1이 됩니다.

 

마지막으로, 큰 전체 사각형 면을 통과하는 자기 플럭스는, $d \Phi_{\mathrm{B}}$ 를 적분해주면 됩니다. 적분할 때에는 $r$ 이 변수입니다. 이 $r$ 은 빨간 직사각형의 위치를 말하는데, 빨간 직사각형의 위치를 옮기면서 모두 더해서 결국 큰 전체 사각형 면을 만들어야 하기 때문에, $r$ 은 $l$ 에서 시작하여 $l+a$ 까지 모두 더해주어야 합니다.

 

적분식은 다음과 같습니다.

이렇게 정리가 됩니다. 대입하면 로그 부분은 $\ln(r) = \frac{\ln(l+a)}{\ln(l)}$ 이 됩니다.