솔레노이드가 만드는 자기장

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안녕하세요, 설군입니다.

전류가 흐르는 도선은 주변에 자기장을 만듭니다. 직선 도선 주변에는 그 도선을 휘감는 방향으로 자기장이 생기고, 원형 도선 주변에는 원형 도선을 중앙을 통과하는 방향으로 자기장이 생깁니다.

솔레노이드는 직선 도선을 용수철처럼 빙빙 감아 만든것을 말합니다. 이는, 원형 도선이 여러 개 겹쳐있는 것으로 생각할 수 있습니다. 솔레노이드의 내부에는 세기와 방향이 일자로 균일한 자기장이 생기는데, 어떻게 생기는지 알아봅시다.

삼차원적으로 이해를 해야되는데, 다음과 같이 솔레노이드가 $x$ 축 방향과 나란하게 놓여 있고, 솔레노이드의 중앙이 $x$ 축과 일치하는 상황을 생각해봅시다.

(그림상으로는 원 여러개를 겹쳐놓은 것으로 그렸습니다만, 사실은 용수철처럼 연결되어있는 상황입니다)

솔레노이드에 전류를 흘려주는 방향이 두 가지 방향이 있을 수 있습니다. 이 예제에서는 그림에 점표시와 가위표시한 방향으로 전류가 흐른다고 생각해봅시다. 솔레노이드에 흐르는 전류의 방향은 빨간색 화살표로 표시하였습니다.

 

솔레노이드에 흐르는 전류의 방향을 알고있을 때, 솔레노이드 내부에 생기는 자기장의 방향은 오른 나사 법칙을 이용하면 쉽게 알 수 있습니다. 솔레노이드에 흐르는 전류의 방향을 오른손 네 손가락으로 감아쥐었을 때, 오른손 엄지 손가락이 향하는 방향이 바로 솔레노이드 내부에서 생기는 자기장의 방향입니다. 위의 그림과 같은 상황에서는 솔레노이드 내부에서 $-x$ 축 방향으로 자기장이 생깁니다.

 

어떻게 솔레노이드 내부에는 한 방향으로 자기장이 생기는 것인지 그림으로 알아봅시다. 위의 솔레노이드를 $+z$ 축 방향에서 내려다보면 다음과 같이 어느 지점에서 전류가 튀어나오고 어느 지점에서 전류가 들어가는지를 그릴 수 있습니다.

즉 솔레노이드의 단면 ($xy$ 평면으로 절단한 절단면) 을 보고있는 상황입니다. 점 표시와 가위 표시로 표시한 전류들은 $xy$ 평면상에 자기장을 만들텐데, 그림으로 그리면 다음과 같습니다.

$xy$ 평면으로 들어가는 전류와 나가는 전류가 솔레노이드의 내부 지역에 만드는 자기장은 방향이 일치하기 때문에 서로 상쇄되지 않고 일정한 방향의 자기장을 만들게 됩니다. 물론 솔레노이드의 중심에서 멀어질수록 자기장은 올곧지 않게 됩니다.

 

솔레노이드가 만드는 자기장은 솔레노이드를 만들 때 도선을 몇 바퀴 감았는지와 관련이 있고, 그리고 솔레노이드에 흐르는 전류의 세기와도 관련이 있습니다.

솔레노이드가 만드는 자기장에 대해 앙페르 법칙을 적용해봅시다. 두 가지의 앙페르 고리를 잡았고 이를 빨간색으로 1, 2라고 표시하였습니다.

먼저 2번 고리에 대해서 생각해봅시다. 2번 고리에 대해 앙페르의 법칙을 적용하기 위해서 2번 고리의 각 부분을 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ), (ㄹ) 라고 구별하였습니다.

고리를 따라가는 자기장을 모두 내적 후 적분한 값을 구하는 것이 앙페르의 법칙의 좌변 값을 계산하는 것입니다.

(ㄱ) 경로의 경우에는 경로의 방향과 자기장의 방향이 일치합니다.

(ㄴ) 경로의 경우에는 경로의 방향과 자기장의 방향이 수직 방향이기 때문에 내적했을 때 0이 되므로 적분에 기여하는 양이 0입니다.

(ㄷ) 경로의 경우에는 자기장이 없으므로 적분에 기여하는 양이 0입니다.

(ㄹ) 경로의 경우에는 (ㄴ)과 마찬가지의 이유로, 적분에 기여하는 양이 0입니다.

따라서 앙페르 법칙의 적분값은

오직 (ㄱ) 경로에 대한 적분값만 남게 됩니다. (ㄱ) 경로에서는 자기장의 세기가 $B$  로 균일하므로, 계산되는 결과는 단순하게 자기장의 세기와 (ㄱ) 경로의 길이 $l$ 을 곱한 게 됩니다. $=Bl$ 이라는 결론을 얻을 수 있습니다.

 

그리고, 앙페르 법칙의 우변은, 내가 잡은 앙페르 고리 속에 속한 전류의 양에 진공에서의 투자율을 곱해준 값을 말합니다. 내가 잡은 고리에서 전류가 몇 개 있는지 세어서 곱해주면 됩니다.

내가 잡은 앙페르 고리 속에 속한 전류의 개수를 $N$ 개 라고 한다면, 단순히 $NI$ 만큼의 전류가 있음을 알 수 있습니다.

따라서 다음과 같이 정리됩니다.

솔레노이드 내부의 자기장 $B$ 는 위와 같이 정리된다는 결론입니다. 여기서 $N$ 은 내가 잡은 임의의 앙페르 고리 속에 포함된 전류가 몇 개 있는지를 말하는 것인데요, 이를 솔레노이드의 감은수와 연관짓기 위해서 $n$ 이라는 물리량을 사용합니다. $n$ 은 단위 길이당 솔레노이드를 감은 수 를 말하는 것입니다. 어떤 솔레노이드가 200번 감아서 만들었고, 그 길이가 2 m라면, 그 솔레노이드의 단위 길이당 감은 수 $n = 200/2$ 입니다. (단위를 굳이 붙이자면, [횟수/m] 가 됩니다)