전류가 흐르는 도선이 만드는 자기장과 앙페르 법칙

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안녕하세요, 설군입니다.

그림과 같이 전류가 흐르는 직선 도선이 있을 때, 이 직선 도선 주변에는 자기장이 생깁니다. 도선 주변에 생기는 자기장의 방향은 오른 나사 법칙으로 알 수 있습니다. 오른손 엄지 손가락을 전류가 흐르는 방향으로 놓고, 오른손 네 손가락을 자연스럽게 감아쥐었을 때 네 손가락의 방향이 자기장의 방향입니다. 따라서 위의 그림과 같이 도선 위에서 바라보았을 때 반시계 방향으로 자기장이 생깁니다.

그림에서는 파란색으로 원 모양을 하나만 그렸지만, 실제로는 그리지 않은 모든 부분들에도 자기장이 생깁니다. 직선 도선으로부터 가까운 곳에도 자기장이 생기고, 먼 곳에도 자기장이 생깁니다. 또한 그림에 표시해놓은 평면상에만 생기는 것도 아닙니다.

도선을 위에서 바라보았을 때에는 위의 그림과 같이 그릴 수 있습니다. 전류는 화면을 뚫고 나오는 방향으로 흐르고 있는데, 이런 경우에는 도선을 원의 가운데에 점을 찍어 표현합니다. 그림을 간단하게 하기 위해, 모든 자기장을 전부 표현하지는 않고, 하나의 원만 그려 표현하도록 하겠습니다.

 

실제로 직선 도선 주변에 생기는 자기장의 방향은, 위의 그림에서 원을 따라 반시계 방향으로 도는 방향입니다. 만약 위에서 그림그린 원의 반지름이 $r$ 이라고 생각한다면 원의 둘레는 $2 \pi r$ 입니다.

이런 가상의 원을 생각할 때, 위의 그림과 같이 원의 작은 조각 길이 $d\vec{s}$ 를 생각할 수 있습니다. 이 조각의 중심에서는 항상 자기장이 원의 접선 방향으로 존재할 것입니다. 다음 그림을 참고해보세요.

한편 우리는 원 위의 임의의 조각 벡터 $d \vec{s}$ 를 잡았을 때, 그 조각의 중심에 존재하는 자기장과의 내적값 $ \vec{B} \cdot d\vec{s}$ 을 항상 계산할 수 있습니다. 원의 매 지점마다 조각 $d \vec{s}$ 의 길이는 매번 일정하지만 방향은 매번 달라지고 (원의 접선 방향), 그리고 자기장의 세기는 매번 일정하지만 방향이 매번 달라집니다. 그러나 자기장의 방향과 조각의 방향은 항상 평행합니다.

 

이 내적값들을 원을 따라 한바퀴 돌며 계산하면서 모두 더한 것을

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{s} $$

이라고 표현합니다. 그런데 신기하게도 이 값은 내가 정한 원 내부에 흐르는 전류의 양 $I$ 와 항상 다음과 같은 관계가 있습니다.

이 관계식이 바로 앙페르 법칙입니다! 이 때 우리가 잡은 임의의 원을 앙페르 고리라고 하고, 이 앙페르 고리는 꼭 원이 아니어도 됩니다. 앙페르 고리의 모양에 상관 없이 만족하는 관계식입니다. (그런데, *고리* 라고 하는 이유가 있습니다. 항상 이 고리는 연결이 되어있어야 하기 때문입니다)

$\mu_0$ 는 자기장과 관련된 물리 상수입니다. 그리고 $I$ 는 내가 잡은 임의의 앙페르 고리 속에 있는 전류를 말합니다.

 

위의 예시에서는, 직선 도선으로부터 거리 $r$ 만큼 떨어진 곳에서, 직선 도선이 만드는 자기장의 세기가 항상 일정합니다. 그래서 앙페르 법칙의 좌변을 구할 때 $\vec{B} \cdot d\vec{s}$ 를 원 둘레를 따라 쭉 더하면 간단하게 자기장과 원의 둘레의 길이를 곱한 값인 $B \cdot 2 \pi r$ 이 됩니다. 그래서 앙페르 법칙 식은 다음과 같이 간단하게 정리됩니다.

식을 정리해서 얻은 것은 $B$ 입니다. 이는 직선 도선이 거리 $r$ 떨어진 곳에 만드는 자기장의 세기입니다. 앙페르 법칙을 이용해 간단하게 직선 도선이 만드는 자기장의 세기를 구할 수 있습니다. 여기서 직선 도선에 흐르는 전류가 변하지 않는다고 생각하면, $\mu_0$, $2 \pi$, $I$ 는 변하지 않는 상수이며, 오직 거리에 따른 변수 $r$ 만 변수입니다. 즉 직선 도선이 만드는 자기장의 세기는, 직선 도선으로부터 얼마나 떨어졌는지 $r$ 에만 관련이 있습니다. 직선 도선이 만드는 자기장의 세기는 멀어질 수록 $r$ 에 반비례 하여 작아집니다.

 

직선 도선이 여러 개 놓인 상황에서도, 내가 앙페르 고리의 모양을 어떻게 잡더라도 앙페르 법칙은 적용됩니다. 이 때, 앙페르 고리의 모양은 내가 어떻게 만들더라도 연결만 되어있으면 됩니다. 다음과 같은 상황을 생각해봅시다.

이렇게 화면을 뚫고 나오는 전류 (단위는 암페어, A) 가 두 개 있고, 화면을 뚫고 들어가는 전류가 한 개 있는 상황입니다.

이런 상황에서 임의의 앙페르 고리를 위의 그림과 같이 선택했습니다. 이 앙페르 고리에 대해서 다음 관계식은 항상 성립합니다.

앙페르 법칙의 우변에 있는 $I_{\mathrm{in}}$ 은 내가 잡은 앙페르 고리 안에 있는 전류들을 (방향을 고려하여) 더해준 값이므로, 위와 같이 단순하게 더해주면 됩니다. 더할 때, 방향을 고려하기 위해서 저는 화면을 뚫고 나오는 전류의 방향을 $(+)$ 라고 정했습니다.

 

그렇다면, 위의 앙페르 법칙에서 좌변은 쉽게 계산할 수 있을까요? 그렇지 않습니다. 맨 처음의 예시와 같이 직선 도선이 하나가 놓여 있고, 그 직선 도선을 중심으로 하는 원으로 앙페르 고리를 잡았을 때에는, 쉽게 계산할 수 있었습니다. 그 이유는 원을 따라 $\vec{B} \cdot d \vec{s}$ 의 내적 값을 계산할 때, 원을 따라가면서 자기장의 세기가 바뀌지 않으면서도, 자기장의 방향과 $d \vec{s}$ 의 방향이 항상 일치했기 때문입니다.

 

그런데

이 예시에서는 위의 그림에 (대략적으로) 그린 것과 같이, 모든 자기장의 방향이 앙페르 고리의 방향과 일치하지도 않을 뿐더러, 자기장의 세기도 일정하지가 않습니다.

즉, 적분값을 하나하나 쪼개어 계산하기는 어렵습니다.

 

앙페르 법칙이 유용한 경우는, 좌변의 적분값을 쉽게 계산할 수 있는 경우입니다.

 

* 예제

그림과 같이, 두께가 있는 도선에 전류가 흐르는 상황을 생각해봅시다. 이 도선의 단면적은 $\pi R^2$ 입니다. 이 도선의 중심으로부터 임의의 거리 $r$ 만큼 떨어진 곳에서 이 도선이 만드는 자기장의 세기를 구해봅시다.

 

위 그림의 도선을 앞에서 바라보면 다음과 같이

수많은 전류들의 다발로 생각할 수 있습니다. 도선이 원통형 대칭을 가지고 있어서 앙페르 법칙을 적용하기에 적합한 예시입니다. 이 도선의 중심으로부터 $r$ 만큼 떨어진 곳에서의 자기장은 마찬가지로 원형 대칭적으로 생깁니다.

앙페르 법칙을 적용해서 두꺼운 도선이 만드는 자기장의 세기를 구하려면 위와 같이 구할 수 있습니다. 문제의 상황이 원형 대칭이므로, 앙페르 법칙에서의 좌변을 계산할 때 간단하게 자기장의 세기와 앙페르 고리의 둘레의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 그리고 우변을 계산할 때에는 단순하게 내가 잡은 앙페르 고리 내의 모든 전류의 양을 적어주면 되므로, 그냥 $I$ 가 됩니다.

 

결론적으로, 두꺼운 도선이 거리 $r$ 에 만드는 자기장은, 그냥 얇은 도선이 만드는 자기장의 세기와 동일한 식입니다.

 

그런데, 다음과 같은 위치에서는 과연 자기장이 어떤 세기를 가질지 궁금할 수 있습니다.

도선 내부입니다! 도선 내부에도 자기장이 존재합니다. 이 때에는 앙페르 법칙을 계산할 때 우변의 $I_{\mathrm{in}}$ 의 값이 어떻게 될지 잘 생각해보아야 합니다. 앙페르 고리의 반지름을 크게 잡았을 때에는, 앙페르 고리가 두꺼운 도선을 모두 포함하기 때문에, 앙페르 법칙의 우변에 들어갈 전류가 그냥 $I$ 가 됩니다.

그런데 지금과 같이 앙페르 고리의 반지름을 도선의 반지름보다도 작게 잡았을 때에는, 앙페르 고리가 두꺼운 도선을 모두 포함하지 않기 때문에, 우변의 전류값이 $I$ 보다 작은 값입니다.

 

도선의 단면적을 이용해서 비례식을 세우면 그 전류값이 얼마나 작아질 지를 계산할 수 있습니다.

도선의 두께보다도 크게 앙페르 고리를 잡았을 때에는, 전류가 흐르는 면적이 도선의 단면적과 같습니다. 즉 단면적이 $\pi R^2$ 일 때에는 전류가 $I$ 가 흐릅니다. 그렇다면 단면적이 $\pi r^2$ 일 때에는 전류가 $x$ 만큼 흐른다고 놓고 비례식을 세우면 위와 같이 세워, $x$ 를 구할 수 있습니다.

 

반지름이 $r$ 인 단면적에서는, 원래의 전류 $I$ 보다 적은 양인 $\frac{r^2}{R^2} I$ 가 흐른다는 것을 알 수 있어요. 따라서 앙페르 법칙의 우변에 대입하면,

이렇게 대입할 수 있습니다. 앙페르 고리를 크게 잡았을 때와는 다른 결과입니다. 거리에 따른 변수 $r$ 이 분자에 있어서, 거리가 멀어질 수록 자기장의 세기가 세진다는 의미입니다.

대략적으로 자기장의 세기를 그림그려보면 위와 같이 될 거예요. 도선의 중심으로부터 멀어질 수록 자기장의 세기가 $r$에 비례하여 커지다가, 도선을 벗어나 점점 멀어지면서 자기장의 세기가 $1/r$ 에 비례하여 작아집니다.