원형 도선이 만드는 자기장

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안녕하세요, 설군입니다.

위의 그림과 같이 원형 도선이 $yz$ 평면상에 놓여있고, 원형 도선에 전류가 $+x$ 축에서 바라보았을 때 반시계 방향으로 흐르고 있습니다. 원형 도선의 반지름은 $a$ 입니다. 이 때, 원형 도선의 중심축은 $x$ 축이고, 그 $x$ 축 상의 임의의 위치 P점에서 원형 도선이 만드는 자기장을 구해봅시다.

비오-사바르 법칙을 이용하여 자기장을 구하기 위해, 원형 도선의 작은 조각 도선을 설정합니다. 쉽게 생각하기 위해서 일단 $y$ 축 상에 있는 조각 도선 $d \vec{s}$ 를 생각합니다. 그리고 나서 그 조각 도선의 중심으로부터 P점까지를 향하는 $\hat{r}$ 이라는 벡터를 생각해야 합니다. 이 벡터는 $xy$ 평면에 놓여있겠죠? 이 벡터가 $y$ 축과 이루는 각도를 $\theta$ 라고 합시다.

* 정확하게는 $\hat{r}$ 이 $yz$ 평면과 이루는 각도를 말합니다. 만약 $d \vec{s}$ 가 $y$ 축 위에 놓여있지 않고, 임의의 $yz$ 평면상에 놓여있는 상황을 생각해보세요.

이제 $d \vec{s}$ 라는 작은 도선이 P점에 만드는 자기장을 생각하기 위해서, 노란 카메라로 표시한 것처럼 $xy$ 평면을 바라봅시다.

$xy$ 평면을 바라보면, 위의 그림과 같이, 조각 도선에는 화면에서 튀어나오는 방향으로 전류가 흐르고 있습니다. 전류가 흐르는 방향으로 오른손 엄지 손가락을 놓게 되면, 오른손 네 손가락을 감아쥐는 방향이 바로 그 전류가 만드는 자기장의 방향입니다. 위의 그림상에서 $d \vec{s}$ 를 줌심으로 하는 가상의 원 중에 P점과 닿는 원을 생각해봅시다. P점에서의 그 원의 접선 방향이 바로 조각 도선이 만드는 작은 자기장 $d \vec{B}$ 입니다. 이 자기장은 $xy$ 평면에 놓여있어요.

입체적으로 그리면 그 자기장은 이렇게 그릴 수 있습니다. 이 자기장은 $xy$ 평면상에 놓여있으므로, $x$ 성분과 $y$ 성분으로 분해할 수 있습니다. 이것을 각각 $dB_x$, $dB_y$ 라고 하겠습니다. 그리고 앞서 정했던 $\theta$ 라는 각도를 잘 살펴보면, $d \vec{B}$ 가 $x$ 축과 이루는 각도도 $\theta$ 임을 알 수 있습니다.

 

여기서 알아야 할 사실이 있습니다. 먼저 삼각형 하나를 생각해봅시다. 작은 조각 도선과, O점과, P점이 만드는 직각 삼각형이 있습니다.

지금은 이 삼각형이 이루는 평면이 $xy$ 평면과 동일합니다. 이 때, 작은 조각 도선이 만드는 작은 자기장 $d \vec{B}$ 는 이 평면상에 놓여있습니다.

 

이 삼각형이 이루는 평면은 지금은 $xy$ 평면과 동일하지만, 만약 작은 조각 도선이 다른 위치에 있다면 $xy$ 평면에서 살짝 기울어진 평면을 만들것입니다. (삼각형이 $x$ 축을 회전축으로 하여 돌아갈 테니까요!) 그 때에도 그 조각 도선이 만드는 자기장은 삼각형이 만드는 평면상에 놓여있게 됩니다. 문제의 상황에서 원형 고리 도선의 어떤 작은 조각 도선을 잡더라도, 그 조각 도선이 만드는 자기장은 항상 삼각형이 만드는 평면상에 놓여있게 됩니다!

 

이런 상황에서, 원형 도선을 이루는 모든 조각 도선이 만드는 자기장을 전부 생각한다면, 그 자기장의 $x$ 성분은 항상 존재하고, 그 성분에 수직한 $B_\perp$ 성분도 항상 존재합니다.

 

그런데 대칭성에 의해서, 원형 도선을 이루는 모든 조각 도선이 만드는 자기장의 $B_\perp$ 성분은 모두 서로 상쇄됩니다.

그림과 같이, $d \vec{s}$ 라는 조각 도선과, 그것의 원점 대칭점에 놓여있는 $d \vec{s}'$ 이라는 조각 도선을 각각 생각해본다면, 위의 그림과 같이 자기장의 방향이 서로 반대? 방향처럼 됩니다. 이를 $xy$ 평면을 쳐다보게 되면

이와 같이 그림이 그려지게 됩니다. 한 조각 도선이 만드는 자기장이 있고, 그의 원점 대칭 위치에 있는 조각 도선이 만드는 자기장은 $x$ 축 성분만 남고, 그 수직한 성분인 $B_\perp$ 성분은 상쇄되게 됩니다.

결론적으로는, 문제를 풀기 위해 처음 정했던 조각 도선이 만드는 자기장의 $dB_x$ 성분만 구해서 적분해주면 그것이 전체 원형 고리 도선이 만드는 자기장이 되게 됩니다.

$dB$ 를 먼저 구하려면 위와 같이 식을 쓸 수 있습니다. $d \vec{s}$ 와 $\hat{r}$은 항상 수직이기 때문에, 외적에서의 $\sin (\theta) = \sin(90^\circ) = 1$ 입니다. 그리고 $r$이라는 건, 앞서 살펴본 직각 삼각형에서의 빗변과 같으므로 쉽게 $a$ 와 $x$ 로 표현할 수 있습니다.

이것의 $x$ 성분인 $dB_x$ 는, 위와 같이 $dB$ 에 $\cos(\theta)$ 를 곱한 것으로 표현할 수 있습니다. $\cos(\theta)$ 의 경우, 역시나 직각 삼각형의 모든 변을 표현할 수 있기 때문에 쉽게 표현할 수 있습니다.

 

이것을 $ds$ 로 적분해주기만 하면, 원형 고리 도선의 모든 조각 도선들이 만드는 자기장 $dB$ 의 $x$ 성분을 구한 셈이 됩니다. 다음과 같이 적분합니다.

적분 식에서 $s$ 에 관련된 항이 없기때문에, $ds$ 를 고리를 따라 적분하는 것의 결과는 고리의 길이를 말합니다.