부력의 정의와 계산

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안녕하세요, 설군입니다.

* 부력의 정의

부력은 물체가 액체나 기체에 들어있을 때, 그 액체 또는 기체가 물체를 위로 떠받쳐주는 힘입니다.

작용-반작용 법칙에 의하면, A가 B에게 가하는 힘의 *크기*는 B가 A에게 가하는 힘의 크기와 같습니다.

부력에서도 작용-반작용 법칙을 생각해봅시다. 예를 들어 물 속에 상자가 있다고 하면,

물이 상자를 떠받쳐주는 힘의 크기는, 상자가 물을 아래로 밀어내는 힘의 크기와 같은 것입니다.

그리고, 액체나 기체를 통틀어 *유체*라고 말합니다.

 

* 아르키메데스의 법칙

물체가 유체에 잠기는 상황을 생각해봅시다. 물체가 반만 잠기는 경우도 있을 거고, 전부 다 잠기는 경우도 있을 거고, 조금만 잠기는 경우도 있을 거고... 다양한 상황이 있을거예요.

물체는 이런 상황에서, 그 잠긴 만큼의 부피에 해당하는 만큼 유체를 밀어냅니다.

그리고, 그 물체가 받는 부력의 크기는 그 물체가 잠긴 만큼의 부피에 해당하는 유체의 무게와 동일합니다.

 

* 물체의 밀도, 유체의 밀도

물체의 밀도는 다음과 같이 물체의 질량과 부피로 정해집니다.

$${\text{(물체의 밀도)}} = \frac{\text{(물체의 질량)}}{\text{(물체의 부피)}} \quad \left( \rho_{\text{물체}} = \frac{m}{V} \right)$$

물체의 질량이 $300\ \mathrm{kg}$이고, 부피가 $600\ \mathrm{m^3}$이면? 이 물체의 밀도는 $0.5 \ \mathrm{kg/m^3}$입니다.

유체의 밀도도, 유체의 질량 나누기 유체의 부피로 정의되는데, 고등학교-일반물리 수준의 부력 문제에서는 유체의 밀도 자체를 구하는 것보다는 유체의 밀도가 주어지고, 유체 속에 물체가 들어있을 때 물체가 받는 부력을 계산하는 경우가 많기 때문에, 유체의 밀도는 대부분 문제에서 주어집니다.

참고로 물의 밀도는 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$입니다.

 

* 물체가 받는 부력의 크기

다음과 같이 질량이 $m$, 부피가 $V$인 물체가, 밀도가 $\rho_0$인 물 속에 완벽하게 잠겨있을 때, 이 물체가 물로부터 받는 부력의 크기는 다음과 같습니다.

$$F_B = \rho_0 V g$$

여기서 $F_B$는 물체가 유체로부터 받는 부력의 크기, $\rho_0$는 액체의 밀도, $V$는 *물체가 잠긴 부피*, $g$는 중력 가속도입니다.

부력은 영어로 Buoyance force 또는 Buoyancy라고 말하고, 힘을 표현하는 문자 $F$에 아래첨자로 $B$를 사용하곤 합니다.

중요한 건, 물체가 받는 부력은 어떤 밀도, 부피, 중력 가속도의 곱인데, 여기서 밀도는 액체의 밀도이며, 부피는 물체의 전체 부피가 아니라 잠긴 부피라는 것입니다.

물체가 전부 다 잠겨있으면 물체가 받는 부력의 크기를 계산할 때에는 물체의 전체 부피를 대입해주면 되지만, 물체가 절반만 잠겨 있는 상황이라면?

$$F_B = \rho_0 \cdot \frac{V}{2} \cdot g$$

와 같이 계산하면 됩니다.

참고로, 물체가 전부 잠긴 경우와 반만 잠긴 경우의 물의 높이를 유심히 살펴보세요! (그림)

물체가 전부 잠겨있을 때에는, 전부 잠긴 만큼의 부피의 물을 밀어내기 때문에 수조에 물 높이가 꽉 차있지만

물체가 반만 잠겨있을 때에는, 반만 잠긴 만큼의 부피의 물으 밀어내기 때문에, 전부 잠겼을 때보다 물 높이가 낮아집니다. (아르키메데스의 법칙)

 

* 예제

물체의 전체 부피가 $V_0$라고 하고, 이 물체는 물 위에 떠있다. 이 때, 물체가 물 밖에 나와있는 부분의 부피는 물체 전체의 부피의 40%이다. 이 경우 물체가 받는 부력의 크기는? (물의 밀도는 $\rho_0$이다.)

물체가 받는 부력의 크기는

$$\text{(물체가 받는 부력의 크기)} = \text{(유체의 밀도)} \cdot \text{(물체가 잠긴 부피)} \cdot \text{(중력 가속도)}$$

입니다.

유체의 밀도는 $\rho_0$로 주어져 있고, 물체가 잠긴 부피는, 문제에서 물체가 밖에 나와있는 부피가 40%라고 하였으니 물체가 잠긴 부피는 60%겠죠? 물체의 전체 부피가 $V_0$이므로, 물체가 잠긴 부피는 $V_0 \cdot \frac{60}{100}$입니다. 그리고 중력 가속도는 $g$입니다. 그럼 다음과 같이 부력의 크기를 나타낼 수 있습니다.

$$F_B = \rho_0 \cdot V_0 \cdot \frac{6}{10} \cdot g$$

 

물체가 받는 부력을 계산하는 공식을 단순히 로우 × 브이 × 쥐 로 외우지 마시고, 액체의 밀도 × 잠긴 부피 × g 라는것을 꼭 아셔야 합니다!

물체의 밀도가 아니라 액체의 밀도!! 물체 전체의 부피가 아니라 잠긴 부피!!