물체에 작용하는 부력

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안녕하세요, 설군입니다.

중력이 작용하는 공간에서, 액체나 기체와 같은 유체가 담긴 곳에 어떤 물체가 들어있으면 그 물체는 유체가 밀어내는 부력을 받습니다.
부력은 중력과는 반대 방향으로 유체가 물체를 밀어내는 힘이고, 이것 때문에 물에서 어떤 물체들이 떠있을 수 있게 됩니다.

액체나 기체를 유체라고 하는데, 좀 더 직관적으로 와닿게 하기 위해서 액체 속에 물체가 들어있는 상황을 생각해봅시다.
액체는 물이나 기름, 콜라, 우유같은 게 될 수가 있겠죠?

다음 그림과 같이 액체 속에 질량이 $m$이고 부피가 $V$인 물체가 완전히 전부 다 잠겨있는 상황을 생각해봅시다.

그리고 그림에서 표시한 것처럼, 두 경우를 생각해서, 두 액체의 밀도가 다른 경우라고 생각해봅시다.
물체가 받는 힘을 생각해보면, 지구가 물체를 아래로 잡아당기는 중력 $mg$와, 액체가 물체를 밀어내서 위로 뜨게하는 힘인 부력이 존재합니다.

이 때 부력의 크기는 다음과 같이 정의됩니다.

$$ F=\rho V g $$

여기서 $F$는 부력의 크기를 말하는 것이고, $\rho$는 액체의 밀도, $V$는 액체에 잠긴 부분만을 포함하는 물체의 부피, $g$는 중력 가속도입니다.
물체의 밀도가 아니라 액체의 밀도고, 물체의 전체 부피가 아니라 잠긴 부분만의 부피라는 걸 조심해야 합니다.

따라서 액체 A에서 물체가 액체로부터 받는 부력은 $F_{\rm{A}}=\rho_{\rm{A}} V g$이고,
액체 B에서 물체가 액체로부터 받는 부력은 $F_{\rm{B}} = \rho_{\rm{B}} V g $입니다.

만약 액체 A에서는 물체가 정확하게 저 위치에서 정지해있다고 한다면, 액체 A가 물체에 작용하는 부력과, 물체의 무게 $mg$가 정확하게 힘의 평형 상태를 이룬다는 것이므로

$$ mg = \rho_{\rm{A}}Vg $$

를 만족할 거예요.

반면, 액체 B에서 물체가 점점 가라앉는 상황이라고 한다면? 부력을 받지만, 부력의 크기가 중력의 크기보다 작으니까 아래로 가속하여 가라앉는 상황이라고 해본다면?

$$ mg > \rho_{\rm{B}}Vg $$

의 상황이 되는 것이죠.

따라서 액체 B에서의 물체의 운동 방정식은

$$ F = ma = mg - \rho_{\rm{B}}Vg $$

로 세워집니다.

이번에는 물체가 반만 잠겨있는 상황을 생각해봅시다. 물체가 액체에 반만 잠겨서 정지해있는 상황을 생각해보면

이 때에 물체가 받는 부력의 크기를 계산하기 위해서는, 물체가 액체에 잠긴 부분만의 부피를 구해야 합니다. 절반만 잠겨있다고 했으므로, 잠긴 부피는 $V/2$ 입니다.

따라서 물체가 액체로부터 받는 부력의 크기만을 계산해보면,

$$ F = \rho \frac{V}{2} g $$

가 되는것이죠.