고정 도르래에 매달린 두 물체 운동 방정식 세우기

반응형

안녕하세요, 설군입니다.

그림과 같이 질량이 $3m$ 인 물체 A와, 질량이 $m$ 인 물체 B가 도르래에 매달려 있습니다. 외부에서 사람이 물체 A 를 아래로 $F$ 만큼의 힘을 주어 끌어당기는 상황입니다. 이 때에 물체 A의 가속도의 방향은 아래 방향이고, 가속도의 크기는 $a$ 라고 합시다.

각각의 물체들에 대해 운동 방정식을 세워봅시다.

 

물체 A에 대해 운동 방정식을 세우기 위해서, 물체 A가 받는 힘들을 표시해보고, 운동 방정식을 세우면 다음과 같이 세울 수 있습니다.

물체 B에 대해서도 똑같은 과정을 거치면 다음과 같이 구할 수 있습니다.

이번에는 두 번째 실험을 해서, 다음과 같이

질량이 더 가벼운 물체 B를 아래로 힘 $F$ 로 잡아당기는 상황을 생각해봅시다. 이 경우에는 물체 B는 아래 방향으로 가속 운동을 하고 있고, 그 가속도의 크기는 $a/2$ 입니다. 이 상황에서도 각각 운동 방정식을 세워봅시다.

이 경우에는, 첫 번째 실험 상황 (식 1, 2 를 세웠던 실험) 과는 다른 상황이므로, 장력을 혼동하지 않게 $T'$ 으로 표시하였습니다. 

이렇게 해서 총 네 개의 식이 완성되었습니다. 우리가 가지고 있는 물리량들이 어떤 관계를 가지는지 구해봅시다.

각각 1, 2번 식 / 3, 4번 식을 연립하면 다음과 같이 식 ㄱ, ㄴ 을 구할 수 있습니다.

이렇게 얻은 ㄱ, ㄴ 식을 다시 연립하면 힘 $F$ 의 크기를 구할 수 있습니다. 두 식을 더하면

$$ 2F = 5ma $$

의 식을 얻을 수 있으므로, 

$$ F = \frac{5}{2}ma $$

입니다. 이것을 다시 식 ㄱ 에 대입해주면?

우리가 지금까지 $a$ 라고 적었던 가속도의 크기가, $4g$ 즉 중력가속도의 네 배임을 얻을 수 있습니다.

그렇다면 힘의 크기 $F$ 는?

$$ F = \frac{5}{2} ma = 10g $$

입니다. 질량이 $ 10 \ \mathrm{kg} $ 인 물체의 무게에 해당하는 힘의 크기네요. 이를 차근차근 대입해보면 첫 번째 실험의 경우와, 두 번째 실험의 경우에서의 장력을 $T$ 와 $T'$ 으로 표현했었는데, 그 둘의 크기를 구할 수도 있습니다. 2번 식과 3번 식에 지금까지 구한 값들을 대입해보면 알 수 있을거예요.