속도-시간 그래프에서의 넓이

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안녕하세요, 설군입니다.

속도-시간 그래프에서의 넓이, 기울기 등을 잘 구하고 쓸 줄 아는것이 중요합니다.

예를 들어 위와 같이 물체의 속도-시간 그래프가 주어졌을 때, 물체가 0-6 초 동안 이동한 변위를 구하라고 한다면?

변위의 개념과, 이동거리의 개념을 일단 잘 알아야 합니다.

 

변위는 말 그대로 위치의 변화값을 의미합니다.

물체가 예를들어 $x$ 축 상에서만 운동을 하고 있을 때,

물체의 처음 위치가 $x=1$ 이었고, 운동 과정이 어쨌건간에 최종 위치가 $x=5$ 가 되었다면

변위는

$$ \Delta x = x_f - x_i = 5 - 1 = 4 $$

입니다. 변위는 4 인 것이죠.

 

이동거리는, 운동 과정 중에 이동한 전체 거리를 의미합니다. 이번에는 운동 과정이 중요한 것이죠. 앞으로 갔다 뒤로 갔다 하면서 남긴 발자국 전부를 더해야 됩니다. 그것이 이동 거리입니다.

 

변위를 구하려면, 속도-시간 그래프에서 양의 넓이와 음의 넓이를 따로 따로 계산해줘야 합니다.

양의 넓이는, $t$ 축 (시간 축) 의 위에있는 넓이를 말하고, 음의 넓이는 시간 축의 아래에 있는 넓이를 말합니다.

 

주어진 그래프에서, 빨간 색으로 칠한 게 양의 넓이이고, 파란 색으로 칠한 게 음의 넓이인 것이죠.

 

문제에서 변위를 구하라고 물어봤다면, 양의 넓이값과 음의 넓이값을 더해주면 됩니다.

만약 빨간 넓이가 10 이고, 파란 넓이가 5 라면, (파란 넓이는 음수 부호를 붙여서)

둘이 더해주면

$$ 10 + (-5) = 5 $$

이렇게 계산해주면 됩니다. 변위가 5 라는 의미입니다.

 

특히나,

$t$ 축 위에 있는 빨간색으로 색칠한 구간이 바로 물체가 앞으로 간 구간이고,

$t$ 축 아래에 있는 파란색으로 색칠한 구간이 바로 물체가 뒤로 간 구간입니다.

따라서 물체의 변위를 구하고자 한다면, 빨간색으로 칠한 넓이에서 파란색으로 칠한 넓이를 빼주면 됩니다.

(만약 빨간색의 넓이가 더 작고, 파란색의 넓이가 더 크다면, 물체의 총 변위는 마이너스 부호가 나오겠죠? 그 말은 물체가 처음 있던 위치로부터 물체가 뒤에 도착했다는 뜻입니다)

 

시간 축의 단위가 $\mathrm{sec}$ 이고, 속도 축의 단위가 $\mathrm{m/s}$ 일 때,

빨간색 부분의 넓이는 크기가 10 이고, 단위는 m 입니다. 그렇다면 파란색 부분의 넓이는 어떻게 구할까요?

파란색 부분의 넓이를 구하기 위해서는 파란색 삼각형의 높이를 알아야 하는데, 그래프의 기울기를 이용해서 알 수 있습니다.

2-4 초 사이의 물체의 운동을 분석해보면, 등가속도 운동을 했으므로 4-5 초에서도 2-4 초에서와 같은 가속도로 운동할 것을 알 수 있습니다.

2-4 초 사이의 그래프의 기울기는 5/2 입니다. 따라서 4 초일 때 물체의 속력은 0이었고, 이것보다 1 초가 더 지난다면 물체의 속도는 -5/2 가 될 것이예요. 따라서 파란색 삼각형의 높이는 5/2 이므로

파란색 삼각형의 넓이는 5/2 입니다.

 

그래서 최종적으로 물체의 변위는, 빨간 넓이 - 파란 넓이 = 10 - 5/2 = 15/2 m 가 됩니다!