원통형 축전기의 전기 용량(정전 용량) 계산

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안녕하세요, 설군입니다.

짧은 거리를 두고 떨어진 두 도체는, 회로에 연결하면 축전기(캐패시터, capacitor)로 작동할 수 있습니다.
아주 간단한 모형의 경우에는 도체 판이 짧은 거리를 두고서 떨어져 있는 경우인데, 회로에서 축전기를 표시할 때 사용하는 모양이 그 의미입니다.

전기 용량은 다음과 같이 정의됩니다.
$$ C = \frac{Q}{\Delta V} $$

두 도체 사이의 전기 퍼텐셜 차가 $\Delta V$, 한 극판에 몰리는 전하의 양 $Q$일 때 그 둘의 비율입니다. 적은 전기 퍼텐셜 차이 만으로도 많은 전하를 쌓을 수 있다면 전기 용량이 큰 것이예요. 그리고 전기 용량은 항상 양수의 값입니다.

단위는 마이클 패러데이 라는 과학자의 이름을 땃 '패럿' 입니다. 따라서
$$ 1\ \rm{[F]} = 1 \ \rm{[C/V]}$$
쿨롱 나누기 볼트로 정의됩니다.
위의 그림의 상황에서, 도체 판 하나의 면 전하 밀도를 정의하면, 다음과 같습니다.
$$ \sigma = \frac{Q}{A} $$
따라서 그림의 상황에서의 전기 용량을 적어보자면
$$ C = \frac{Q}{\Delta V} = \frac{\sigma A}{\Delta V} $$
이 됩니다. 그런데 두 평행 판 사이의 간격이 $d$일 때, 그 사이에서의 전기장의 크기와 전기 퍼텐셜 차의 크기는 다음과 같은 관계식을 만족합니다.
$$ \Delta V = E d = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} d$$
그래서 최종적으로 전기 용량 식은
$$ C = \frac{\sigma A}{\Delta V}  = \frac{\sigma A}{E d} = \frac{\sigma A}{d} \frac{\varepsilon_0}{\sigma} = \varepsilon_0 \frac{A}{d} $$
이렇게 됩니다. 평행판 축전기의 전기 용량은, 두 도체판 사이의 거리 $d$가 짧을 수록 커지고, 두 도체판의 면적 $A$가 넓을수록 커집니다. 거리가 가까울 수록 각 도체판에 전하가 잘 모이니까 많이 모일 것이고, 면적이 넓을 수록 더 많이 모일 거예요.

* 예제

 

평행판 축전기의 전기 용량을 계산했으니, 이번에는 원통형 축전기의 전기 용량을 계산해봅시다. 원통형 축전기란, 평행판 축전기를 동그랗게 말아 놓은 모양의 축전기입니다. 작은 원통을 큰 원통이 감싸고 있는 형태예요.

축전기의 전기 용량은 어쨌든
$$ C = \frac{Q}{\Delta V} $$
이므로, 두 원통형 도체 판 사이의 전기 퍼텐셜 차이를 구해야 합니다. 전기 퍼텐셜 차이를 구하기 위해서는 다음과 같은 식을 이용합니다.
$$ V_{\rm{B}} - V_{rm{A}} = - \int_a^b \vec{E} \cdot d \vec{s} $$
그렇다면 임의의 위치 $\vec{r}$에서 전기장을 구해야 하는데, 가우스 법칙을 이용합니다. 일반 물리학에서는 대부분의 경우 $l \gg b$라는 조건이 있는데, 원통이 거의 무한히 길다고 취급해도 되기 때문에 가우스 법칙을 적용 가능한 것입니다.
$$ E \cdot 2 \pi r l = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$
이므로,
$$ E(r) = \frac{Q}{2 \pi r l \varepsilon_0} $$
가 됩니다. 이를 이용해 전기 퍼텐셜 차이를 구하면
$$ \Delta V = - \int_a^b E(r) dr = - \frac{Q}{2 \pi l \varepsilon_0} \int_a^b \frac{dr}{r} = - \frac{Q}{2 \pi l \varepsilon_0} \ln \left( \frac{b}{a} \right) $$
따라서 전기 용량은
$$ C = \frac{Q}{\Delta V} = \frac{2 \pi l \varepsilon_0}{\ln \left( \frac{b}{a} \right)} $$
이 됩니다. 주로 이런 경우에 전기 용량은, 단위 길이당 전기 용량을 나타내곤 합니다. 단순히 길이 $l$로 나누어 주면 됩니다.
$$ C/l = \frac{2 \pi \varepsilon_0}{\ln \left( \frac{b}{a} \right)} $$