공동(Cavity)을 가지고 있는 도체

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안녕하세요, 설군입니다.

공동을 가지고 있는 도체의 경우에 대해서 알아봅시다.
공동이라는 건 어떤 구멍을 말합니다. 동공이라고 해도 되고 공동이라고 해도 돼요.

예를 들어 예쁜 공 모양의 도체 구가 있다고 합시다.

이 도체 구를 반으로 자른 단면이 오른쪽의 그림인데, 내부가 비어있는 것처럼 보입니다. 이런 경우를 공동이 있는 경우라고 합니다.
꼭 공 모양의 도체 구가 아니더라도, 임의의 모양의 도체여도 내부가 비어있는 곳이 존재할 수 있어요. 이런 상황에 대해서 생각해봅시다.

여기서 좀 구별해야할 게, 도체 내부라는 말과 공동 내부라는 말 인데, 도체 내부라는 말은 도체로 꽉 차있는 공간을 이야기해요. 그런데 공동 내부라는 말은 말 그대로 아무것도 물질이 없는 빈 구멍을 말하는 거예요. 도체 내부라고 해서 공동을 가리키는 말이 아닐수도 있어요.
책마다 다르고 사람마다 말하는 게 다를텐데, 이걸 확실하게 구별하면 헷갈리지 않을 것 같습니다.

도체가 전하를 띠고 있고, 도체의 전하는 표면에만 퍼져 있다는 사실을 이전 글에서 이야기했습니다.
이번에도 그런 상황이라고 생각합시다. 그리고, 공동 내부에도 어떤 전하도 없다고 가정합시다.
다시 용어를 정리하고 가자면, 도체 내부에는 자유 전하가 절대 존재할 수 없어요. 표면에 모두 퍼지기 때문입니다. 그런데 공동 내부에는 자유 전하가 존재할 수 있어요! 거기다 갖다 두면 존재 하는거니까요.

이 경우에, 도체 구 표면에 전하가 분포할지라도, 공동 내에는 전기장이 0입니다. 또한 이 상황에 외부 전기장이 걸리더라도 공동 내 전기장은 0입니다! (사람이 공동 안에 살고있다면 외부 전기장으로부터 안전합니다 ㅋㅋ)

도체가 두께가 만약 있다고 한다면 외부쪽의 도체 표면도 있을꺼고, 내부쪽(공동쪽)의 도체 표면도 있을꺼예요.
공동쪽의 도체 표면의 임의의 두 점 A, B를 잡아서 그곳의 전기 퍼텐셜 차이를 계산한다고 해봅시다.

$$ V_{\rm{B}} - V_{\rm{A}} = - \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} \vec{E} \cdot d \vec{s} $$

가 됩니다. 그런데 도체 표면의 어느 지점이라도 전기 퍼텐셜은 일정, 즉 등전위이므로 이 적분값은 0입니다.
따라서 어떤 경로를 잡아서 그 경로를 따라 전기장과 변위의 내적을 계속 더하더라도 항상 0입니다.
따라서 공동 내에 전하가 없다면 그곳은 전기장이 전혀 없는 공간이 됩니다.

이런 현상을 '패더데이 새장' 이라고 말합니다. 신기하게도 도체를 그물처럼 감싸도 그 내부의 전기장이 0입니다.
패러데이 새장의 원리를 이용해서 전기장으로부터 보호해야 하는 기계를 보호하는 데 사용하기도 합니다.
번개가 칠 때 차 안에 있는게 안전하다는 것도 이런 이유입니다.
또한 엘리베이터를 탈 때 전화 신호가 잘 안잡히는 것도 이런 이유고요!

* 예제

다음과 같은 상황을 생각해봅시다.
속이 꽉 찬 빨간 절연체 구가 중심에 위치해있고, 이 빨간 구의 반지름은 $a$입니다. 그리고 전하량 $+Q$로 균일하게 대전되어 있습니다.

그리고 파란색 도체 구가 있는데, 이 도체 구는 두께가 있고, 공동이 존재합니다. 두께를 생각해 보자면 $c-b$가 되겠군요. 파란 도체는 전하량 $-2Q$로 대전되어 있는 상황입니다.

이 상황에서 여러 구역의 전기장을 가우스 법칙을 이용해서 구해봅시다.
먼저 구역을 네 가지로 나눌 수 있습니다.

I. 빨간 절연체 구의 내부 임의의 위치: $r<a$
II. 빨간 절연체 구 밖이면서 파란 도체 구의 공동 내부의 임의의 위치: $a<r<b$
III. 파란 도체 구의 내부(공동 내부를 말하는 게 아님): $b<r<c$
IV. 모든 것의 외부: $c<r$

I 구역은 다음과 같습니다.

$$ \begin{split} \oint \vec{E} \cdot d\vec{a} =& \frac{+Q}{\varepsilon_0} \\ E \cdot 4 \pi r^2 =& \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{\frac{3}{4} \pi a^3} Q \\ \rightarrow E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{a^3} r \end{split} $$

다른 것들은 신경 안 쓰고, 오직 빨간 절연체 구만 있다고 놓고 구한것과 동일한 결과입니다. 앞서 이야기한 대로 파란 도체는 공동 내에 전기장을 만들지 않습니다.

II 구역은 다음과 같습니다.

$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} $$

이것도 역시 오직 빨간 절연체 구만 있다고 놓고 구한 것과 동일한 결과입니다.

III 구역은 다음과 같습니다.

$$ E=0 $$

도체의 내부이기 때문에 전기장은 0이라고 바로 적어주면 됩니다. 그렇다면 이 답은, 가우스 법칙을 적용해도 정확하게 일치해야 하는데요, 가우스 법칙을 적용할 때 우변에 들어가야 할 '내가 잡은 가우스 곡면 내부의 총 전하량' 이 과연 얼마인지를 알아야 합니다. (결론적으로 총 전하량이 0이라는 말입니다.

그 전하량이 정확하게 0이려면 빨간 절연체 구의 전하량 $+Q$와 상쇄되도록 정확하게 $-Q$의 전하가 있어야 하는데요, 그 전하가 있는 곳이 바로 파란 도체 구의 공동 쪽 표면입니다.

파란 도체 구가 가지고 있는 $-2Q$라는 총 전하량이 내부 껍질 표면에 $-Q$, 외부 껍질 표면에 $+Q$가 분포해있는 것이죠.

마지막으로 IV 구역은 다음과 같습니다.

$$ E = - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} $$

가우스 법칙에 의해서 IV 구역에 가우스 구면을 잡았을 때 그 내부에 있는 전하량은 $-Q$이기 때문에 쉽게 계산됩니다.