구형 축전기의 전기 용량 계산

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안녕하세요, 설군입니다.

이전 글에서는 원통형 축전기의 전기 용량을 계산했었는데, 이번에는 구형 축전기의 전기 용량을 계산해봅시다.

반지름이 $a, b$인 도체 구 껍질이 각각 전하 $+Q, -Q$로 대전되어 있고 위의 그림과 같이, 한 점을 중심으로 겹쳐 있습니다. 그림은 간단하게 하기 위해 구 껍질을 잘라놓은 상황입니다.

전기 용량을 구하기 위해서 정의를 생각해보면,
$$C = \frac{Q}{\Delta V}$$
가 됩니다. 따라서 $\Delta V$를 구해야 합니다.
$$V_{\rm{B}} - V_{\rm{A}} = - \int_a^b \vec{E} \cdot d\vec{s}$$
입니다. 두 도체 구 껍질 사이의 임의의 거리 $r$에서의 전기장을 먼저 알아야 하는데, 이는 가우스 법칙으로 쉽게 구할 수 있습니다.
따라서 전기 퍼텐셜 차이는
$$\begin{align*} &= - \int_a^b E dr \\ &= - k Q \int_a^b \frac{dr}{r^2} \\ &= k Q \left[ \frac{1}{r} \right]_a^b \end{align*}$$
가 됩니다.
$$\Delta V = kQ \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = k Q \frac{a-b}{ab}$$
이므로, 전기 용량은
$$C = \frac{ab}{k(b-a)}$$
가 됩니다.
참고로 퍼텐셜 차는 어느곳을 기준점으로 해서 구하더라도 상관없는 게, 어차피 전기 용량은 항상 양수여야 하므로, 전기 용량을 계산할 때에는 전기 퍼텐셜 차이의 절댓값을 사용해주면 되기 때문입니다.