전기장이 0이 되는 지점 찾기

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안녕하세요, 설군입니다.

직선상에 전하가 두 개 있을 때 과연 어느 위치에 전하를 놓아야 전기장이 0이 되는 지점을 찾을 수 있는지 알아봅시다.

임의의 지점에서의 전기장을 알고싶으면, 내가 알고싶어 하는 그 지점에 전하량이 $+1\ \rm{[C]}$인 전하를 놓고, 그 전하가 다른 전하들로부터 받는 전기력을 계산해주면 그것이 바로 전기장입니다.

그럼 과연 어느 지점에 전하량이 $+1\ \rm{[C]}$인 전하를 놓아야, $+1\ \rm{[C]}$의 전하가 받는 전기력이 0인지를 생각해봅시다.
그걸 생각하기 위해서는 $+1\ \rm{[C]}$의 전하가 받는 전기력의 방향을 먼저 생각해줍니다.

이렇게 영역을 세 가지로 나눌 수 있어요, 각각 ㄱ, ㄴ, ㄷ영역 이라고 하겠습니다. 각 영역에 차례대로 $+1\ \rm{[C]}$의 전하를 놓고 이 전하가 받는 전기력의 방향을 생각해봐요.

먼저 ㄱ영역에 놓았을 때에는 위와 같이 힘을 받을거예요. 파란색 전하로부터는 $+1\ \rm{[C]}$의 전하는 왼쪽으로 밀려나는 전기력을 받을꺼고, 빨간색 전하로부터 $+1\ \rm{[C]}$의 전하는 오른쪽으로 잡아당겨지는 전기력을 받을거예요. 따라서 $+1\ \rm{[C]}$의 전하가 받는 알짜힘을 계산했을 때 그것이 0이 될 가능성이 있습니다.

그렇다면 ㄴ영역에서는 어떨까요? 위와 같이, 파란색 전하로부터 밀려나는 방향, 즉 오른쪽 방향으로 힘을 받을거고, 빨간색 전하로부터는 당겨지는 방향, 즉 오른쪽으로 힘을 받을거라서, ㄴ영역 에서는 알짜힘이 0이 될 수가 없습니다. 따라서 ㄴ영역에서는 절대로 전기장이 0이 되는 지점이 없습니다.

마지막으로 ㄷ영역에 대해서 생각해봅시다. ㄷ영역에서는 ㄱ영역과는 힘의 방향이 각각 반대가 됩니다. 파란 전하로부터 $+1\ \rm{[C]}$의 전하는 밀려나니까 오른쪽 방향으로 힘을 받고, 빨간 전하로부터는 당겨지니까 왼쪽 방향으로 힘을 받습니다. 따라서 이 ㄷ영역 에서도 알짜힘이 0이 될 가능성이 있습니다. 즉 전기장이 0이 될 가능성이 있습니다!

그렇다면 ㄱ영역과 ㄷ영역 중에 어느곳에 정답이 있을까요? 혹은 두 영역 모두에 정답이 있을까요?
이걸 알기 위해서는 이제 힘의 크기를 계산해보아야 합니다.

$$ F = k \frac{q_1q_2}{r^2} $$

쿨롱의 법칙에 의하면, 어떤 전하가 받는 전기력의 크기는 거리의 제곱에 반비례합니다. 즉 가까울 수록 전기력의 세기가 커지는 것이고, 멀어질 수록 전기력의 세기가 작아집니다.
그리고, 전하량의 곱에 비례합니다. 즉 전하량이 클 수록 전기력의 세기가 커지는 것이죠. 그렇다면 ㄱ영역과 ㄷ영역에 대해서도 $+1\ \rm{[C]}$의 전하가 파란 전하와 빨간 전하로부터 받는 전기력의 세기를 비교해볼 수 있는데요, 화살표의 크기로 그려보면 다음과 같이 될거예요.

ㄱ영역에서 파란 전하가 $+1\ \rm{[C]}$의 전하에 작용하는 전기력의 크기는, 파란 전하가 가까우면서도 전하량이 빨간 전하보다 크니까 큰 전기력을 가할거예요. 그런데 ㄱ영역에서 빨간 전하가 $+1\ \rm{[C]}$의 전하에 작용하는 전기력의 크기는, 파란 전하보다 멀리 있으면서도 전하량도 작으니까 그 크기가 약할거예요. 따라서 ㄱ영역에서는 힘이 상쇄될 상황이 나오지 않을거예요.

ㄷ영역에서 파란 전하가 $+1\ \rm{[C]}$의 전하에 작용하는 전기력의 크기는, 파란 전하가 멀지만 전하량은 빨간 전하보다 크니까 적당한 전기력(?)을 가할 것이예요. 그런데 ㄷ영역에서 빨간 전하가 $+1\ \rm{[C]}$의 전하에 작용하는 전기력의 크기는, 파란 전하보다는 빨간 전하가 전하량이 작지만, $+1\ \rm{[C]}$의 전하에 가까이 있으므로 적당한 전기력(?)을 가할 거예요. 따라서 두 힘의 크기가 비등비등할 조건이 ㄷ영역 안에 어디엔가는 있을것 같아요.

그럼 이제 ㄷ영역 안에서 과연 어느 지점에서 $+1\ \rm{[C]}$의 전하가 받는 알짜힘이 0인지를 찾으면, 그곳이 바로 전기장이 0이 되는 지점입니다.

구하기 위해서 이렇게 거리를 표시합니다. 중요한 건 각각의 전하로부터 $+1\ \rm{[C]}$의 전하까지의 거리예요. 이 전하는 임의의 $x>0$지점에 있다고 가정합니다. 우리가 찾아야 할 것은 이 $x$값입니다.

파란 전하가 $+1\ \rm{[C]}$의 전하에 작용하는 전기력의 크기는?

$$ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9\times10^9 \cdot \frac{5 \cdot 1}{(5+x)^{2}} $$

입니다.

빨간 전하가 $+1\ \rm{[C]}$의 전하에 작용하는 전기력의 크기는?

$$ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{|-3| \cdot 1}{(x-d)^2} $$

이 두 전기력의 방향은 그림에 표시한 것과 같다는 사실을 이미 알고 있습니다. 따라서 이 두 전기력이 크기가 같아지는 $x$를 찾는것이 바로 우리가 원하는 지점입니다.

$$ 9 \times 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 1}{(5+x)^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{|-3| \cdot 1}{(x-d)^2} $$

문제에서 만약 $d = 3\ \rm{[m]}$라고 주어졌다면, 식은

$$ \frac{5}{(5+x)^2} = \frac{3}{(x-3)^2} $$

으로 간단해집니다. 계속 풀어보면

$$ \begin{aligned} 5(x^2 - 2x + 9) &= 3(25 + 10x + x^2) \\ 5x^2 - 10x + 45 &= 75 + 30x + 3x^2 \\ 2x^2 - 40x - 30 &= 0 \end{aligned} $$

으로 이차방정식 꼴이 되어, $x$를 근의 공식 또는 계산기를 이용하여 계산해보면,

$$ x = 10 - \sqrt{115} \quad / \quad  x=10+\sqrt{115} $$

이 중에서 우리는 $+1\ \rm{[C]}$의 전하가 있는 위치라는 것은 원점으로부터 떨어진 거리이고, 거리라는 물리량은 음수가 될 수 없으므로 $x>0$인 것을 정답으로 택해야 합니다. 이 값은 대략 $~20\ \rm{[m]}$입니다.